Хорошо известное учебное пособие по математике для втузов с достаточно широкой математической подготовкой. Второй том включает разделы: дифференциальные уравнения, кратные и криволинейные интегралы, интегралы по поверхности, ряды, уравнения математической физики, операционное исчисление, элементы теории вероятностей и математической статистики, матрицы. Для студентов высших технических учебных заведений. ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие к девятому изданию 9 Предисловие к пятому изданию .,. 11 ГЛАВА XIII ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ § 1. Постановка задачи. Уравнение движения тела при сопротивлении среды, пропорциональном скорости. Уравнение цепной линии ... 13 § 2. Определения 16 § 3. Дифференциальные уравнения Первого порядка (общие понятия) 17 § 4. Уравнения с разделенными и разделяющимися переменными. Задача о распаде радия 22 § 5. Однородные уравнения первого порядка 25 § 6. Уравнения, приводящиеся к однородным 27 § 7. Линейные уравнения первого порядка " 30 § 8. Уравнение Бернулли 33 § 9. Уравнение в полных дифференциалах 35 § 10. Интегрирующий множитель 38 § 11. Огибающая семейства кривых 39 § 12. Особые решения дифференциального уравнения первого порядка. . 45 § 13. Уравнение Клеро .,.,..,,.... 47 § 14. Уравнение Лагранжа 49 § 15. Ортогональные и изогональные траектории 50 § 16. Дифференциальные уравнения высших порядков (общие понятия) 55 § 17. Уравнение вида yw = f(x) 56 § 18. Некоторые типы дифференциальных уравнений второго порядка, приводимых к уравнениям первого порядка. Задача о второй кос мической скорости 59 § 19. Графический метод интегрирования дифференциального уравнения второго порядка 66 § 20. Линейные однородные уравнения. Определения и общие свойства 68 § 21. Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами 74 § 22. Линейные однородные уравнения "-го порядка с постоянными коэффициентами . 79 § 23. Неоднородные линейные уравнения второго порядка 81 § 24. Неоднородные линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами 84 § 25. Неоднородные линейные уравнения высших порядков 90 § 26. Дифференциальное уравнение механических колебаний , 94 § 27. Свободные колебания. Векторное и комплексное изображение гар монических колебаний , , . 96 § 28. Вынужденные колебания 99 § 29. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений 103 § 30. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами ., 108 § 31. Понятие о теории устойчивости Ляпунова. Поведение траектории дифференциального уравнения в окрестности особой точки . . . :. 113 § 32. Приближенное решение дифференциальных уравнений первого по рядка методом Эйлера 127 § 33. Разностный метод приближенного решения дифференциальных уравнений, основанный на применении формулы Тейлора. Метод Адамса 130 § 34. Приближенный метод интегрирования систем дифференциальных уравнений первого порядка ,,..,,.. 136 Упражнения к главе XIII 141 ГЛАВА XIV КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ § 1. Двойной интеграл , , ,,..,, . 152 § 2. Вычисление двойного интеграла 154 $ 3. Вычисление двойного интеграла (продолжение) 160 § 4. Вычисление площадей и объемов с помощью двойных интегралов 166 § 5. Двойной интеграл в полярных координатах 168 § 6. Замена переменных в двойном интеграле (общий случай) .... 174 | 7. Вычисление площади поверхности 179 § 8. Плотность распределения вещества и двойной интеграл 182 § 9. Момент инерции площади плоской фигуры 184 § 10. Координаты центра масс площади плоской фигуры 188 § II. Тройной интеграл 190 § 12. Вычисление тройного интеграла ..,,,.. 191 § 13. Замена переменных в тройном интеграле 196 § 14. Момент инерции и координаты центра масс тела 199 § 15. Вычисление интегралов, зависящих от параметра 201 Упражнения к главе XIV , . , , .,,.,,...,,., 202 ГЛАВА XV КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ИНТЕГРАЛЫ ПО ПОВЕРХНОСТИ § 1. Криволинейный интеграл , 208 § 2. Вычисление криволинейного интеграла 211 § 3. Формула Грина 217 § 4. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интег рирования 219 § 5. Поверхностный интеграл , 224 § 8. Вычисление поверхностного интеграла 226 § 7. Формула Стокса 229 § 8. Формула Остроградского 233 § 9. Оператор Гамильтона. Некоторые его применения 236 Упражнения к главе XV , 239 ГЛАВА XVI РЯДЫ § 1. Ряд. Сумма ряда 245 § 2. Необходимый признак сходимости ряда 248 § 3. Сравнение рядов с положительными членами 250 § 4. Признак Даламбера 252 § 5. Признак Коши 256 § 6. Интегральный признак сходимости ряда 257 § 7. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница 260 § 8. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость . . . 263 § 9. Функциональные ряды . 266 § 10. Мажорируемые ряды , 267 § 11. Непрерывность суммы ряда 269 § 12. Интегрирование и дифференцирование рядов 272 § 13. Степенные ряды. Интервал сходимости , 275 § 14. Дифференцирование степенных рядов 279 § 15. Ряды по степеням х-а 280 § 16. Ряды Тейлора и Маклорена 282 § 17. Примеры разложения функций в ряды . 283 § 18. Формула Эйлера 285 § 19. Биномиальный ряд 286 § 20. Разложение функции ln(l-j-.t) в степенно'й ряд. Вычисление лога рифмов 288 § 21. Вычисление определенных интегралов с помощью рядов 290 § 22. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов 292 § 23. Уравнение Бесселя 295 § 24. Ряды с комплексными членами 299 § 25. Степенные ряды с комплексной переменной 300 § 26. Решение дифференциального уравнения первого порядка методом последовательных приближений (метод итераций) 302 § 27. Доказательство существования решения дифференциального урав нения. Оценка погрешности при приближенном решении .... 304 § 28. Теорема единственности решения дифференциального уравнения 308 Упражнения к главе XVI 310 ГЛАВА XVII РЯДЫ ФУРЬЕ § 1. Определение. Постановка задачи 318 § 2. Примеры разложения функций в ряды Фурье 322 § 3. Одно замечание о разложении периодической функции в ряд Фурье 327 § 4. Ряды Фурье для четных и нечетных функций 329 § 5. Ряд Фурье для функции с периодом 2/ 331 § 6. О разложении непериодической функции в ряд Фурье 332 § 7. Приближение в среднем заданной функции с помощью тригоно метрического многочлена 334 § 8. Интеграл Дирихле 339 § 9. Сходимость ряда Фурье в данной точке 341 § 10. Некоторые достаточные условия сходимости ряда Фурье .... 343 § 11. Практический гармонический анализ 345 § 12. Ряд Фурье в комплексной форме 346 § 13. Интеграл Фурье 349 § 14. Интеграл Фурье в комплексной форме 352 § 15. Ряд Фурье по ортогональной системе функций 355 § 16. Понятие о линейном функциональном пространстве. Аналогия между разложением функций в ряд Фурье и разложением век торов 357 Упражнения к главе XVII 362 ГЛАВА XVIII УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ § 1. Основные типы уравнений математической физики 364 § 2. Вывод уравнения колебаний струны. Формулировка краевой за дачи. Вывод уравнений электрических колебаний в проводах . . 365 .§ 3. Решение уравнения колебаний струны методом разделения пере менных (методом Фурье) 368 § 4. Уравнение распространения тепла в стержне. Формулировка крае вой задачи 372 § 5. Распространение тепла в пространстве 374 § 6. Решение первой краевой задачи для уравнения теплопроводности методом конечных разностей . 377 § 7. Распространение тепла в неограниченном стержне 379 § 8. Задачи, приводящие к исследованию решений уравнений Лапласа, Формулировка краевых задач 384; § 9. Уравнение Лапласа в цилиндрических координатах. Решение задачи Дирихле для кольца с постоянными значениями искомой функции на внутренней и внешней окружностях 389 § 10. Решение задачи Дирихле для круга 390 § 11. Решение задачи Дирихле методом конечных разностей 394 Упражнения к главе XVIII ,,,.,.., 396 ГЛАВА XIX ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И НЕКОТОРЫЕ ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ § 1. Начальная функция и ее изображение 400 § 2. Изображение функций а0 (I), sin t, cos t 402 § 3. Изображение функции с измененным масштабом независимой пе ременной. Изображение функций sin at, cos at. 403 § 4. Свойство линейности изображения 405 § 5. Теорема смещения 405 § 6. Изображение функций е~а*, shaf, ch at, e~at sin at, e~atcos at 405 § 7. Дифференцирование изображения 407 § 8. Изображение производных 409 § 9. Таблица некоторых изображений 410 § 10. Вспомогательное уравнение для данного дифференциального урав нения 411 § 11. Теорема разложения 415 § 12. Примеры решения дифференциальных уравнений и систем диффе ренциальных уравнений операционным методом 417 § 13. Теорема свертывания 418 § 14. Дифференциальные уравнения механических колебаний. Дифферен циальные уравнения теории электрических цепей 420 § 15. Решение дифференциального уравнения колебаний 421 § 16. Исследование свободных колебаний 423 § 17. Исследование механических и электрических колебаний в случае периодической внешней силы 424 § 18. Решение уравнения колебаний в случае резонанса 426 § 19. Теорема запаздывания 427 § 20. Дельта-функция и ее изображение 428 Упражнения к главе XIX 431 ГЛАВА XX ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ § 1. Случайное событие. Относительная частота случайного события. Вероятность события. Предмет теории вероятностей 434 § 2. Классическое определение вероятности и непосредственный подсчет вероятностей 436 § 3. Сложение вероятностей. Противоположные случайные события . . 438 § 4. Умножение вероятностей независимых событий 441 § 5. Зависимые события. Условная вероятность. Полная вероятность 443 § 6. Вероятность гипотез. Формула Байеса 446 § 7. Дискретная случайная величина. Закон распределения дискретной случайной величины , , 449 § 8. Относительная частота и вероятность относительной частоты при повторных испытаниях . . . , 451 § 9. Математическое ожидание дискретной случайной величины . . . 455 § Ш. Дисперсия. Среднеквадратичное отклонение. Понятие о моментах 460 § 11. Функции от случайных величин 463 § 12. Непрерывная случайная величина. Плотность распределения непрерывной случайной величины. Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал 464 § 13. Функция распределения, или интегральный закон распределения. Закон равномерного распределения вероятностей 468 § 14. Числовые характеристики непрерывной случайной величины ... 471 § 15. Нормальный закон распределения. Математическое ожидание нор мального распределения 474 § 16. Дисперсия и среднеквадратичное отклонение случайной величины, подчиненной нормальному закону распределения 476 § 17. Вероятность попадания значения случайной величины в заданный интервал. Функция Лапласа. Интегральная функция распреде ления для нормального закона 477 § 18. Вероятное (срединное) отклонение или срединная ошибка .... 481 § 19. Выражение нормального закона распределения через срединное отклонение. Приведенная функция Лапласа 483 § 20. Правило трех сигм. Шкала вероятностей распределения ошибок 484 § 21. Среднеарифметическая ошибка , 486 § 22. Мера точности. Соотношение между характеристиками распреде ления ошибок 486 § 23. Двумерная случайная величина 487 § 24. Нормальный закон распределения на плоскости 491 § 25. Вероятность попадания двумерной случайной величины в прямо угольник со сторонами, параллельными главным осям рассеива ния, при нормальном законе распределения 492 § 26. Вероятность попадания двумерной случайной величины в эллипс рассеивания 494 § 27. Задачи математической статистики. Статистический материал . . 495 § 28. Статистический ряд. Гистограмма 495 § 29. Определение подходящего значения измеряемой величины .... 4&Э § 30. Определение параметров закона распределения. Теорема Ляпу нова. Теорема Лапласа 500 Упражнения к главе XX 504 ГЛАВА XXI МАТРИЦЫ. МАТРИЧНАЯ ЗАПИСЬ СИСТЕМ И РЕШЕНИЙ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ § 1. Линейные преобразования. Матрица 508 § 2. Общие определения, связанные с понятием матрицы 511 § 3. Обратное преобразование 513 § 4. Действия над матрицами. Сложение матриц 5!5 §5. Преобразование вектора в другой вектор с помощью маїроцьі . . 513 § 6. Обратная матрица 519 § 7. Нахождение матрицы, обратной данной 520 § 8. Матричная запись системы линейных уравнений 522 §9. Решение системы линейных уравнений матричным методом . . . 523 § 10. Ортогональные отображения. Ортогональные матрицы 525 § 11.. Собственный вектор линейного преобразования 523 §12. Матрица линейного преобразования, при котором базисные век торы являются собственными векторами 531 §13. Преобразование матрицы линейного преобразования при переходе от одного базиса к другому 532 § 14. Квадратичные формы и их преобразования 534 § 15. Ранг матрицы. Существование решений системы линейных урав нений 536 § 16. Дифференцирование и интегрирование матриц 537 § 17. Матричная запись системы дифференциальных уравнений и реше ний системы дифференциальных уравнений с постоянными коэф фициентами 539 § 18. Матричная запись линейного уравнения "-го порядка 543 § 19. Решение систем линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами методом последовательных приближений с использованием матричной записи 544 Упражнения к главе XXI 548 Приложения 550 Предметный указатель 553