Збірник містить задачі з лінійної алгебри та аналітичної геометрії з таких розділів: матриці та визначники, системи лінійних рівнянь; елементи векторної алгебри; аналітична геометрія на площині та в просторі; елементи теорії лінійних просторів. Кожен розділ збірника містить необхідний теоретичний матеріал (визначення, формули, теореми) і велику кількість детально розібраних прикладів, а також задачі для самостійного розв'язування, до яких подані відповіді. Збірник задач призначений для забезпечення викладання курсу лінійної алгебри та аналітичної геометрії. ЗМІСТ Вступ 7 Розділ 1. Матриці та визначники. Системи лінійних рівнянь 8 § 1. Матриці та дії над ними 8 1. Матриця. Окремі види матриць 8 2. Операції над матрицями 9 §2. Визначник матриці. Властивості визначників та способи обчислення 16 1. Визначник матриці 16 2. Властивості визначників 17 3. Деякі методи обчислення визначників 19 § 3. Системи лінійних рівнянь 24 1. Матрична форма запису системи. Розв'язок системи 24 2. Обернена матриця 25 3. Матричний спосіб розв'язування системи лінійних рівнянь. 28 4. Правило Крамера ЗО 5. Елементарні перетворення матриці. Канонічна матриця. Ранг матриці 31 6. Теорема Кронекера - Капеллі 35 7. Системи лінійних однорідних рівнянь 38 Відповіді 42 Розділ 2. Векторна алгебра 45 § 1. Елементи векторної алгебри 45 1. Поняття вектора. Лінійні операції над векторами 45 2. Лінійна залежність векторів.Розклад вектора по базису 50 3. Проекція вектора на вісь 55 4. Прямокутна система координат 56 5. Розклад вектора по базисних векторах 58 6. Напрямні косинуси вектора 60 7. Координати вектора, що заданий двома точками 63 8. Поділ відрізка в заданому відношенні 65 § 2. Скалярний добуток двох векторів 69 1. Скалярний добуток і його властивості 69 2. Вираження скалярного добутку через координати співмножників 72 3. Кут між двома векторами 72 4. Умови ортогональності (перпендикулярності) та колінеар-ності двох векторів 73 § 3. Векторний добуток двох векторів 77 1. Векторний добуток і його властивості 77 2. Вираження векторного добутку через координати співмножників 79 3. Застосування векторного добутку 81 § 4. Мішаний добуток трьох векторів 83 1. Визначення мішаного добутку трьох векторів 83 2. Вираження мішаного добутку через координати перемножуваних векторів 84 3. Застосування мішаного добутку 86 § 5 .Подвійний векторний добуток 89 Відповіді 90 Розділ 3. Аналітична геометрія на площині 93 § 1. Рівняння лінії на площині 93 1. Поняття рівняння лінії 93 2. Класифікація плоских ліній 94 3. Точки перетину ліній 95 § 2. Пряма на площині 96 1. Рівняння прямої, яка проходить через задану точку перпендикулярно до заданого ненульового вектора 96 2. Загальне рівняння прямої 96 3. Рівняння прямої "у відрізках" 99 4. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом 100 5. Канонічне рівняння прямої 102 6. Нормальне рівняння прямої 103 7. Відстань від точки до прямої 104 § 3. Лінії другого порядку 109 І.Коло 109 2. Еліпс ПО 3. Гіпербола 114 4. Парабола 116 Відповіді 121 Розділ 4. Аналітична геометрія у просторі 124 § 1. Рівняння поверхні і рівняння лінії у просторі 124 1. Поняття про рівняння поверхні 124 2. Класифікація поверхонь 125 3. Рівняння циліндричної поверхні з твірними, паралельними до однієї з координатних осей 126 4. Рівняння лінії в просторі 127 § 2. Площина 129 1. Загальне рівняння площини 129 2. Неповні рівняння площини 131 3. Рівняння площини " у відрізках " 133 4. Рівняння площини, яка проходить через три точки 134 5. Нормальне рівняння площини 135 6. Відстань від точки до площини 137 7. Кут між двома площинами. Умови паралельності і перпендикулярності двох площин 139 § 3. Пряма в просторі 142 1. Векторне рівняння прямої 142 2. Параметричні рівняння прямої 142 3. Канонічні рівняння прямої 142 4. Рівняння прямої, яка проходить через дві точки 144 5. Загальне рівняння прямої 145 6. Кут між двома прямими 146 § 4. Деякі задачі на пряму і площину в просторі 148 1. Кут між прямою і площиною 148 2. Перетин прямої і площини 149 3. Рівняння прямої, яка проходить через точку перпендикулярно до даної площини 150 4. Рівняння площини, яка проходить через точку паралельно до даної площини. 151 5. Рівняння площини, яка проходить через точку перпендикулярно до даної прямої 152 6. Рівняння площини, яка проходить через задану пряму і задану точку 152 7. Рівняння площини, яка проходить через пряму паралельно іншій прямій 153 8. Рівняння площини, яка проходить через задану пряму перпендикулярно до заданої площини 154 9. Рівняння площини, яка проходить через дві паралельні прямі 155 10. Рівняння площини, яка проходить через дві прямі, що перетинаються 156 11. Рівняння перпендикуляра, опущеного з даної точки на пряму 157 12. Відстань від точки до прямої 158 13. Відстань між паралельними прямими 160 14. Найкоротша відстань між двома мимобіжними прямими. . 161 15. Знаходження точки, симетричної даній точці відносно заданої площини або заданої прямої 163 § 5. Поверхні другого порядку 165 1. Циліндри другого порядку 165 2. Поверхні обертання 165 3. Конус другого порядку 167 4. Еліпсоїд 169 5. Однопорожнинний гіперболоїд 171 6. Двопорожнинний гіперболоїд 173 7. Еліптичний параболоїд 175 8. Гіперболічний параболоїд 176 Відповіді 178 Розділ 5. Елементи теорії лінійних просторів 184 § 1. Лінійний та евклідовий простори 184 1. Означення лінійного простору та його властивості 184 2. Лінійний підпростір 186 3. Вимірність та базис лінійного простору, п - вимірний арифметичний простір 187 4. Евклідовий простір; означення, основні поняття 192 5. Оргонормований базис в Е" 194 § 2. Лінійні оператори 197 1. Означення лінійного оператора 197 2. Матриця лінійного оператора 200 3. Дії над лінійними операторами 208 4. Перетворення матриці лінійного оператора при переході до нового базису. Перетворення координат 215 5. Матриця переходу від одного ортонормованого базису до іншого. Спряжені оператори 221 § 3. Власні вектори і власні значення лінійного перетворення 226 1. Власні вектори та власні значення лінійного перетворення. 226 2. Матриця лінійного перетворення в базисі з власних векторів 229 3. Симетричні перетворення і їх матриці 233 § 4. Зведення загального рівняння лінії другого порядку до канонічного вигляду на основі теорії квадратичних форм. . 237 1. Квадратичні форми та їх зведення до канонічного вигляду 237 2. Зведення загального рівняння лінії другого порядку до канонічного вигляду 241 Відповіді 248