Навчальний посібник складено згідно з типовими навчальними програмами для вищих технічних та економічних навчальних закладів. Він охоплює основні розділи дисципліни: випадкові події, випадкові величини, функції від випадкових величин, основні поняття математичної статистики, елементи теорії кореляції та перевірки статистичних гіпотез. Наведено цікаві факти з історії виникнення теорії ймовірностей. Матеріал є доступним для сприйняття тими особами, чия попередня підготовка обмежена основами математичного аналізу. Посібник призначений для студентів, аспірантів, викладачів коледжів, ліцеїв, ВНЗ та широкого загалу фахівців технічних та економічних напрямків. ЗМІСТ Передмова................................................................................................................3 Вступ........................................................................................................................5 Розділ 1. Основні поняття теорії ймовірностей..................................................11 1.1. Простір елементарних подій.........................................................................11 1.2. Класифікація подій........................................................................................13 1.3. Операції над випадковими подіями.............................................................16 1.4. Класична ймовірність випадкової події.......................................................20 1.5. Елементи комбінаторики...............................................................................22 1.6. Геометрична ймовірність...............................................................................37 1.7. Статистична ймовірність випадкової події................................................. 40 1.8. Поняття про аксіоматичне означення ймовірності.....................................44 Розділ 2. Основні теореми теорії ймовірностей.................................................49 2.1. Теорема додавання ймовірностей несумісних подій..................................49 2.2. Умовна ймовірність. Теорема множення ймовірностей залежних подій…………………………………………………………………...52 2.3. Ймовірність добутку незалежних подій.......................................................55 2.4. Ймовірність настання принаймні однієї з декількох подій........................59 2.5. Ймовірність суми сумісних подій.................................................................61 2.6. Формула повної ймовірності.........................................................................64 2.7. Формули Бейєса..............................................................................................65 Розділ 3. Послідовність незалежних випробувань. Схема Бернуллі. Граничні теореми.....................................................................69 3.1. Незалежні випробування. Формула Бернуллі.............................................69 3.2. Найімовірніше число появ події...................................................................74 3.3. Локальна теорема Муавра-Лапласа..............................................................78 3.4. Інтегральна теорема Муавра-Лапласа..........................................................83 3.5.Ймовірність відхилення відносної частоти події від сталої ймовірності..87 3.6. Формули Пуассона.........................................................................................89 3.7. Найпростіший потік подій.............................................................................92 Розділ 4. Випадкова величина. Закони розподілу дискретних випадкових величин..............................................................................................93 4.1. Функція розподілу ймовірностей випадкової величини............................95 4.2. Закони розподілу дискретної випадкової величини..................................99 4.3. Числові характеристики випадкової величини.........................................105 4.4. Основні закони розподілу дискретних випадкових величин та їх числові характеристики....................................................................................................119 Розділ 5. Неперервні випадкові величини. Закони розподілу неперервних випадкових величин............................................................................................135 5.1. Функція та щільність розподілу неперервної випадкової величини.......135 5.2. Числові характеристики неперервних випадкових величин....................143 5.3. Основні закони розподілу неперервних випадкових величин та їх числові характеристики....................................................................................................151 Розділ 6. Граничні теореми теорії ймовірностей..............................................175 6.1. Нерівності Маркова та Чебишова...............................................................176 6.2. Теорема Чебишова.......................................................................................180 6.3. Часткові випадки теореми Чебишова........................................................183 6.4. Центральна гранична теорема....................................................................189 Розділ 7. Системи випадкових величин............................................................193 7.1. Поняття системи декількох випадкових величин.....................................193 7.2. Закон розподілу дискретної двовимірної випадкової величини..............194 7.3. Функція розподілу системи випадкових величин.....................................199 7.4. Щільність розподілу системи випадкових величин..................................204 7.5. Щільність розподілу складових системи випадкових величин...............212 7.6. Умовні закони розподілу складових системи випадкових величин........214 7.7. Залежні та незалежні випадкові величини.................................................219 Розділ 8. Числові характеристики системи двох випадкових величин..........223 8.1. Початкові та центральні моменти системи двох випадкових величин...228 8.2. Момент зв'язку. Коефіцієнт кореляції........................................................230 8.3. Корельованість і залежність випадкових величин...................................238 8.4. Числові характеристики умовних законів розподілу...............................241 8.5. Поняття про двовимірний нормальний розподіл.....................................246 Розділ 9. Функції випадкових величин та їх числові характеристики….....251 9.1. Закон розподілу функції однієї випадкової величини.............................251 9.2. Числові характеристики функції однієї випадкової величини...............257 9.3. Математичне сподівання та дисперсія функції двох випадкових величин...........................................................................................265 Розділ 10. Елементи математичної статистики. Основні поняття. Числові характеристики вибірки.......................................................................277 10.1. Основні поняття математичної статистики.............................................278 10.2. Первинне опрацювання даних..................................................................279 10.3. Емпірична функція розподілу...................................................................286 10.4. Числові характеристики вибірки..............................................................292 Розділ 11. Статистичні оцінювання параметрів розподілу.............................303 11.1. Точкові оцінки параметрів розподілу......................................................303 11.2. Точкові оцінки числових характеристик випадкової величини............305 11.3. Метод моментів обчислення точкових оцінок параметрів розподілу...310 11.4. Інтервальні оцінки параметрів розподілу................................................314 11.5. Розподіли Пірсона, Стьюдента, Фішера-Снедекора...............................317 11.6. Інтервал надійності для оцінювання математичного сподівання нормально розподіленої випадкової величини...............................................322 11.7. Інтервал надійності для оцінювання дисперсії та середнього квадратичного відхилення нормально розподіленої випадкової величини...326 11.8. Оцінка ймовірності біномного розподілу за відносною частотою........328 Розділ 12. Статистична перевірка гіпотез. Критерії згоди..............................331 12.1. Перевірка гіпотези про порівняння середнього значення генеральної сукупності зі стандартом....................................................................................335 12.2. Перевірка гіпотези про рівність математичних сподівань двох нормально розподілених випадкових величин.......................................340 12.3. Перевірка гіпотези про порівняння двох дисперсій нормально розподілених генеральних сукупностей...........................................................344 12.4. Поняття про критерії згоди. Критерій Пірсона......................................348 Розділ 13. Елементи теорії кореляції та регресії..............................................359 13.1. Класифікація залежностей між результативною та факторною ознаками......359 13.2. Статистичні розподіли системи двох випадкових величин..................360 13.3. Елементи кореляційного аналізу.............................................................364 13.4. Основні поняття і методи регресійного аналізу.....................................370 13.5. Метод найменших квадратів....................................................................372 Список літератури..............................................................................................379 Додатки.................................................................................................................381 Предметний покажчик........................................................................................389