Викладено математичний апарат, який використовується для розв'язання задач електроенергетики: елементи теорії подібності, теорії множин та теорії графів, формалізовані методи аналізу електричних кіл, спеціальні обчислювальні методи, методи розв'язання алгебричних та трансцендентних рівнянь однієї змінної, методи розв'язання систем лінійних та нелінійних скінченних рівнянь та систем диференційних рівнянь у повних та часткових похідних, викладено математичні основи аналізу усталених режимів та перехідних процесів в електроенергетичних системах, вибрані питання математичного моделювання хвильових процесів в електроенергетичних системах, показано роль структурних схем та частотних характеристик у моделюванні електроенергетичних систем, викладено основні поняття про задачі та методи ідентифікації систем, елементи теорії стійкості електроенергетичних систем та метод D-розбиття. Теоретичний матеріал для кожного розділу ілюструється наскрізними прикладами розв'язання задач, а також завершується контрольними запитаннями для перевірки знань. Розраховано на студентів ВНЗ електротехнічних спеціальностей, насамперед для вивчення таких дисциплін, як "Математичні задачі електроенергетики", "Математичні моделі електричних систем", "Математичне моделювання в електротехніці", "Математичні моделі елементів електричних станцій та підстанцій". Може бути корисним аспірантам, викладачам, а також інженерам електроенергетичних спеціальностей. ЗМІСТ Перелік скорочень, позначень, індексів...............................................................8 Латинська абетка...................................................................................................10 Грецька абетка.......................................................................................................10 Передмова..............................................................................................................11 1. Основи теорії подібності в задачах електроенергетики................................13 1.1. Основні теореми подібності..........................................................................14 1.2. Методи визначення критеріїв подібності явищ..........................................16 2. Елементи теорії множин і теорії графів..........................................................19 2.1. Елементи теорії множин. Основні поняття та означення..........................21 2.2. Співвідношення між множинами. Операції над множинами....................21 2.3. Відображення.................................................................................................23 2.4. Елементи теорії графів..................................................................................24 2.5. Матриця суміжності......................................................................................26 2.6. Матриці інциденцій, перетинів і коефіцієнтів розподілу дерева..............27 2.6.1. Матриці інциденцій....................................................................................28 2.6.2. Матриця перетинів......................................................................................31 2.6.3. Матриця коефіцієнтів розподілу дерева...................................................33 2.7. Елементи теорії нечітких множин................................................................33 2.7.1. Основні поняття та визначення.................................................................34 2.7.2. Операції над нечіткими множинами.........................................................36 2.7.3. Поняття множин рівня і декомпозиції нечіткої множини......................40 3. Формалізовані методи аналізу електричних кіл............................................43 3.1. Структурні елементи та фізичні величини..................................................43 3.1.1. Параметри та координати заступної схеми електричного кола.............43 3.2. Аналіз електричного кола на підставі законів Ома та Кірхгофа..............46 3.3. Аналіз електричного кола на підставі вузлових і контурних рівнянь......49 3.4. Метод незалежних струмів………………………………...........................56 3.5. Метод контурних струмів.............................................................................63 3.6. Метод незалежних напруг............................................................................69 3.7. Метод вузлових напруг.................................................................................75 3.8. Метод міжвузлових напруг...........................................................................80 3.9. Метод координат віток..................................................................................85 3.10. Метод визначальних координат.................................................................88 3.11. Матриці вхідних і взаємних адмітансів, коефіцієнтів розподілу, вузлових і умовних вузлових імпедансів..........................................................97 3.12. Перетворення рівнянь із комплексної площини в дійсну..................... 104 4. Спеціальні обчислювальні методи................................................................107 4.1. Обчислення функцій. Похибки..................................................................107 4.2. Інтерполяція функцій..................................................................................109 4.2.1. Інтерполяційна формула Лагранжа........................................................110 4.2.2. Оцінка похибки інтерполяційної формули Лагранжа..........................111 4.2.3. Інтерполяційні формули Ньютона..........................................................115 4.2.4. Оцінка похибки інтерполяційних формул Ньютона.............................118 4.3. Апроксимація функції.................................................................................121 4.3.1. Метод підставлення..................................................................................122 4.3.2. Метод найменших квадратів....................................................................124 4.3.3. Кубічний сплайн.......................................................................................128 4.4. Наближене диференціювання функцій......................................................131 4.5. Наближене інтегрування функцій..............................................................136 4.5.1. Квадратурні формули Ньютона-Котеса..................................................138 4.5.2. Формули трапецій і прямокутників........................................................139 4.5.3. Формула Сімпсона....................................................................................142 4.5.4. Графічне інтегрування функції...............................................................145 4.6. Спеціальні функції......................................................................................147 4.6.1. Ортогональний поліном...........................................................................147 4.6.2. Гамма-, бета- і псі-функції.......................................................................148 4.6.2.1. Гамма-функція........................................................................................148 4.6.2.2. Бета-функція...........................................................................................150 4.6.2.3. Псі-функція.............................................................................................151 4.6.3. Функція Лежандра.....................................................................................152 4.6.4. Функція Бесселя.........................................................................................155 4.6.5. Модифікована функція Бесселя...............................................................156 4.6.6. Функція Кельвіна.......................................................................................159 5. Числові методи розв'язання алгебричних і трансцендентних рівнянь однієї змінної.......................................................................................................161 5.1. Знаходження області існування коренів алгебричного рівняння...........161 5.2. Метод половинного ділення.......................................................................162 5.3. Метод хорд....................................................................................................167 5.4. Метод простої ітерації (метод нерухомої точки)......................................170 5.5. Метод Ньютона-Рафсона............................................................................174 6. Методи розв'язання системи скінченних лінійних рівнянь........................178 6.1. Аналітичні методи розв'язання системи скінченних лінійних рівнянь..................................................................................................................178 6.1.1. Розв'язання системи скінченних лінійних рівнянь з використанням детермінантів.......................................................................................................178 6.1.2. Розв'язання системи скінченних лінійних рівнянь методом Гаусса.....181 6.1.3. Розв'язання системи скінченних лінійних рівнянь методом послідовних виключень Гаусса LU -перетворення................................................................188 6.2. Власні значення та власні вектори матриці..............................................194 6.3. Норми матриці та вектора...........................................................................201 6.4. Ітераційні методи розв'язання системи лінійних скінченних рівнянь....203 7. Числові методи розв'язання системи скінченних лінійних рівнянь...........207 7.1. Метод простої ітерації.................................................................................207 7.2. Метод ітерації Зайделя................................................................................210 7.3. Метод найшвидшого спуску (градієнтний метод)....................................214 8. Числові методи розв'язання системи скінченних нелінійних рівнянь.......221 8.1. Метод простої ітерації.................................................................................221 8.2. Метод ітерації Зайделя................................................................................224 8.3. Метод найшвидшого спуску (градієнтний метод)....................................227 8.4. Метод Ньютона-Рафсона.............................................................................230 9. Математичні основи аналізу усталених режимів електроенергетичних систем...................................................................................................................237 9.1. Математична модель аналізу усталених режимів ЕЕС у методі вузлових напруг...................................................................................................................238 9.2. Про існування та єдиність розв'язання рівнянь стану ЕЕС......................247 9.3. Математична модель аналізу усталених режимів ЕЕС у методі контурних струмів...............................................................................248 9.4. Математична модель ЕЕС у фазних координатах у методі контурних струмів..................................................................................................................256 9.5. Математична модель аналізу усталених режимів ЕЕС у методі балансу потужностей........................................................................................................267 10. Методи розв'язання системи диференційних рівнянь ..............................271 10.1. Основні відомості про диференційні рівняння, які використовують в електротехніці...................................................................................................273 10.2. Лінійні диференційні рівняння зі сталими коефіцієнтами у матрично-векторній формі..............................................................................303 10.3. Аналіз і синтез електричних кіл методом змінних стану......................306 10.3.1. Розв'язання рівнянь змінних стану.......................................................310 10.4. Числові методи розв'язання звичайних диференційних рівнянь...........311 10.4.1. Однокрокові явні методи........................................................................312 10.4.1.1. Метод Ейлера........................................................................................313 10.4.1.2. Метод Ейлера-Коші.............................................................................318 10.4.1.3. Обчислювальна схема методу Ейлер;і-Коші з ітераціями...............322 10.4.1.4. Метод Рунге-Кутта..............................................................................330 10.4.1.5. Метод Кутта-Мерсона........................................................................339 10.4.2. Однокрокові неявні методи...................................................................347 10.4.2.1. Метод Ейлера......................................................................................348 10.4.2.2. Метод Ейлера-Коші............................................................................358 10.4.3. Багатокрокові явні методи....................................................................358 10.4.4. Багатокрокові неявні методи.................................................................359 10.5. Алгоритм розв'язання диференційно-алгебричних систем рівнянь неявними числовими методами........................................................................359 10.5.1. Виведення формули диференціювання назад......................................361 10.5.2. Прогноз початкових умов для ітераційного процесу Ньютона-Рафсона................................................................................................................364 10.6. Алгоритм визначення усталеного режиму електричних кіл..................380 10.7. Методи розв'язання диференційних рівнянь у часткових похідних.....385 10.7.1. Загальні засади про рівняння в часткових похідних...........................385 10.7.2. Розв'язання диференційних рівнянь у часткових похідних на підставі формули Д'Аламбера......................................................................388 10.7.3. Розв'язання диференційних рівнянь у часткових похідних методом розділення змінних.............................................................................391 10.7.4. Розв'язання диференційних рівнянь у часткових похідних числовими методами.........................................................................................396 10.7.5. Розв'язання диференційних рівнянь у часткових похідних методом конформних відображень..................................................................399 10.7.5.1. Комплексні функції та конформні відображення............................399 10.7.5.2. Визначення конформних відображень..............................................401 11. Математичні моделі аналізу перехідних процесів електроенергетичних систем...................................................................................................................404 11.1. Математична модель аналізу перехідних процесів ЕЕС у методі вузлових і контурних рівнянь............................................................................404 11.2. Математична модель аналізу перехідних процесів ЕЕС у методі контурних координат..........................................................................................408 11.3. Математична модель аналізу перехідних процесів ЕЕС у методі вузлових координат............................................................................................408 11.4. Математична модель аналізу електромагнетних процесів в ЕЕС із вентильними елементами та динамічним навантаженням..........................409 11.4.1. Математична модель електромагнетних апаратів...............................410 11.4.2. Математична модель асинхронного двигуна.......................................413 11.4.3. Математична модель лінії електропересилання..................................416 11.4.4. Математична модель регулятора СТК..................................................416 11.4.5. Математична модель СТК......................................................................417 11.4.6. Математичне моделювання несиметричних режимів.........................417 11.4.7. Математична модель ЕЕС із вентильними елементами та динамічним навантаженням...........................................................................421 12. Математичне моделювання хвильових процесів у електроенергетичних системах...............................................................................................................425 12.1. Математичне моделювання хвильових процесів у довгих лініях електропересилання............................................................................................425 12.2. Поширення хвиль у лініях електропересилання за наявності корони..................................................................................................................433 12.3. Урахування скін-ефекту в проводах під час дослідження хвильових процесів у довгих лініях.....................................................................................438 12.4. Математичне моделювання хвильових процесів у трансформаторах..444 13. Структурні схеми та частотні характеристики систем.............................452 13.1. Структурні схеми систем..........................................................................452 13.2. Оцінка впливу зовнішніх сил, що діють на елементи системи, та одержання еквівалентної вхідної величини.....................................................460 13.3. Частотні характеристики систем..............................................................464 14. Ідентифікація систем....................................................................................469 14.1. Поняття про задачі ідентифікації.............................................................469 14.2. Класифікація методів ідентифікації.........................................................470 14.3. Ідентифікація лінійного стаціонарного об'єкта за частотними характеристиками...............................................................................................473 14.4. Еквівалентування складної системи з використанням частотної характеристики...................................................................................................475 15. Елементи теорії стійкості електроенергетичних систем..........................480 15.1. Поняття статичної та динамічної стійкості ЕЕС....................................480 15.2. Визначення стійкості руху.......................................................................483 15.3. Про основні підходи, які використовують для оцінки динамічної стійкості ЕЕС…………………………………………………………………...486 15.3.1. Про деякі особливості моделювання електромеханічних перехідних процесів у ЕЕС для оцінки її динамічної стійкості..........................................486 15.3.2. Прямий метод Ляпунова та його використання для оцінки динамічної стійкості ЕЕС.......................................................................................................488 15.3.2.1. Теореми про стійкість руху.................................................................488 15.3.2.2. Теореми про нестійкість руху.............................................................489 15.3.2.3. Про деякі особливості використання прямого методу Ляпунова для оцінки динамічної стійкості ЕЕС......................................................................490 15.4. Про основні підходи, які використовують для оцінки статичної стійкості ЕЕС....................................................................................................................... 494 15.5. Визначення стійкості за рівняннями першого наближення................