Посібник с текстом лекцій курсу "Лінійна алгебра та аналітична геометрія", який багато років читається в університеті "Києво-Могилянська академія" для студентів спеціальностей "Програмна інженерія" та "Прикладна математика". Алгебру та геометрію подано не окремими розділами, а органічно поєднано між собою. Матеріал викладено з повним доведенням, кожен розділ завершується підбором задач різного рівня складності. Посібник призначено для студентів перших курсів вишів, які навчаються за напрямом "Інформатика" і вивчають дисципліну "Лінійна алгебра та аналітична геометрія". Зміст Передмова.............................................................................................5 Вступ......................................................................................................7 Розділ 1. Основні алгебраїчні структури.........................................11 1.1. Напівгрупи та групи..................................................................11 1.2. Кільця та поля............................................................................14 1.3. Задачі . .......................................................................................18 Розділ 2. Афінні многовиди ..............................................................23 2.1. Геометричні властивості кривих другого порядку ..............26 2.2. Поверхні другого порядку.........................................................31 2.3. Параметризація афінних многовидів........................................37 2.4. Параметризація лінійних афінних многовидів........................38 2.5. Задачі.............................................................................................44 Розділ 3. Алгебра матриць...................................................................55 3.1. Оборотні матриці ....................................................................59 3.2. Системи лінійних рівнянь у матричній формі .........................63 3.3. Задачі.............................................................................................64 Розділ 4. Векторний простір над полем.............................................67 4.1. Лінійна залежність векторів.......................................................74 4.2. Координати вектора в базисі.....................................................80 4.3. Застосування до досліджень лінійних многовидів ................83 4.4. Задачі.............................................................................................88 Розділ 5. Визначники матриць ..........................................................95 5.1. Орієнтовні площі та об'єми........................................................95 5.2. Полілінійні кососиметричні функціонали................................100 5.3. Використання визначників для обертання матриць та знаходження розв'язків систем лінійних рівнянь............................. 105 5.4.Задачі................................................................................................107 Розділ 6. Білінійні симетричні та квадратичні форми......................111 6.1. Матриці білінійних форм...........................................................111 6.2. Зведення білінійних симетричних форм до діагонального вигляду.....................................................................113 6 3 Закон інерції квадратичних форм ..........................................115 6.4. Задачі.............................................................................................116 Розділ 7. Евклідові та унітарні векторні простори..........................119 7 1 Нерівність Коші-Буняковського................................................119 122 7 2 Ортогональні системи векторів..........................................122 7.3. Задачі.............................................................................................126 Розділ 8. Лінійні відображення та оператори.....................................131 8.1. Операції над лінійними відображеннями.................................133 8.2. Інваріантні підпростори лінійних операторів..........................134 8.3. Матриці лінійних відображень...................................................137 8.4. Жорданова нормальна форма......................................................142 8.5. Лінійні оператори в унітарних та евклідових просторах ........155 8.6. Зведення квадратичної форми до головних осей......................163 8.7. Зведення квадрик до канонічного вигляду................................164 8.8. Задачі...........................................................................................167 173 Література.....................................................................................173 Предметний покажчик ......................................................................174