У підручнику викладено теорію границь, диференціальне числення функцій однієї та багатьох змінних, інтегральне числення, моделювання процесів диференціальними рівняннями, теорію ймовірностей, основи математичної статистики. Значну увагу приділено практиці розв'язання типових задач, аналізу і графічному представленню результатів. Подано завдання для самоконтролю, вправи для ау-диторної та домашньої робіт., а також додаток. Частину матеріалу висвітлено для аналізу фармацевтичної та медико-біологічної інформації. Призначено для студентів, аспірантів та науковців за напрямами навчання та досліджень у галузях медицини, біології, фармації, хімії, економіки, педагогіки, агротехнології, соціології. ЗМІСТ Передмова 11 Розділ 1. Вступ до аналізу 16 1.1. Поняття множини... 16 1.2. Операції над множинами 19 1.3. Елементи обчислювальної математики 22 1.3.1. Наближені дані. Абсолютна та відносна похибки наближених величин 22 1.3.2. Певні, сумнівні та значущі цифри наближених даних 24 1.4. Функція однієї змінної 26 1.5. Загальні відомості про функції 28 1.5.1. Парні та непарні функції 28 1.5.2. Періодичні функції 28 1.5.3. Обмежені функції 29 1.5.4. Обернена функція 30 1.5.5. Монотонність функції 31 1.5.6. Складені функції 31 1.5.7. Неявні функції 33 1.6. Основні елементарні функції 33 1.6.1. Стала функція 33 1.6.2. Степенева функція 33 1.6.3. Показникова функція 34 1.6.4. Логарифмічна функція 35 1.6.5. Тригонометричні функції 36 1.6.6. Обернені тригонометричні функції 40 Вправи 43 Розділ 2. Границя і неперервність функції 50 2.1. Числова послідовність 50 2.2. Границя числової послідовності 53 2.3. Нескінченно малі та нескінченно великі послідовності…………….. 55 2.4. Правила знаходження границь числових послідовностей 59 6 Зміст 2.5. Границя функції неперервного аргументу 66 2.6. Нескінченно малі та нескінченно великі функції 69 2.7. Властивості границь функцій та правила знаходження границь....... 71 2.8. Неперервність функції 77 2.9. Асимптоти функції 83 Вправи 86 Розділ 3. Похідна функції та ЇЇ застосування 91 3.1. Приріст аргументу та приріст функції 91 3.2. Похідна функції 93 3.3. Диференціювання функцій 95 3.4. Фізичний зміст першої та другої похідних 99 3.5. Геометричний зміст похідної 101 3.6. Основні теореми диференціального числення 103 3.7. Застосування похідної для визначення інтервалів монотонності та екстремумів функції 106 3.8. Застосування другої похідної для дослідження опуклості кривої та знаходження точок перегину 110 3.9. Повне дослідження функції 112 3.10. Розкриття невизначеностей за правилами Лопіталя 114 Вправи 117 Розділ 4. Диференціал функції та його застосування 126 4.1. Означення диференціала 126 4.2. Геометричний зміст диференціала 128 4.3. Основні формули і правила диференціювання 129 4.4. Диференціали вищих порядків 131 4.5. Застосування диференціала для лінійної апроксимації функції 132 4.6. Застосування диференціала для оцінки граничної похибки опосередкованих вимірювань 134 4.7. Розклад функції в ряд Тейлора 137 Вправи 140 Розділ 5. Диференціальне числення функцій багатьох змінних 145 5.1. Поняття m-вимірного евклідового простору 145 5.2. Функція багатьох змінних 148 5.3. Границя і неперервність функції багатьох змінних 153 Зміст 7 5.4. Частинні похідні функцій багатьох змінних 156 5.5. Частинні та повний диференціали функції багатьох змінних......... 160 5.6. Застосування повного диференціала як лінійної апроксимації функцій 164 5.7. Визначення граничної похибки опосередкованих вимірювань 168 5.8. Застосування повного диференціала для операцій з наближеними числами 169 5.9. Дослідження функції двох змінних на екстремуми 171 5.10. Метод найменших квадратів 175 Вправи 180 Розділ 6. Інтегральне числення. Застосування інтегрального числення... 188 6.1. Невизначений інтеграл 188 6.2. Основні властивості невизначеного інтеграла 190 6.3. Таблиця основних інтегралів 191 6.4. Безпосереднє інтегрування 192 6.5. Інтегрування методом заміни змінної 193 6.6. Метод інтегрування частинами 196 6.7. Визначений інтеграл 197 6.8. Властивості визначеного інтеграла 201 6.9. Невласні інтеграли 206 6.9.1. Невласні інтеграли з нескінченними проміжками інтегрування 206 6.9.2. Невласні інтеграли від необмежених на проміжку інтегрування функцій 209 6.10. Наближені методи обчислення визначеного інтеграла 211 6.11. Деякі застосування визначеного інтеграла 213 6.11.1. Обчислення площі плоскої фігури 213 6.11.2. Шлях при нерівномірному русі 214 6.11.3. Робота змінної сили 215 6.11.4. Чисельність популяцій 216 6.11.5. Продукт хімічної реакції 217 6.11.6. Застосування теореми про середнє значення 218 6.11.7. Доза радіаційного опромінення 219 6.11.8. Інтегральні спектральні характеристики джерел випромінювання 221 Вправи 222 8 Зміст Розділ 7. Диференціальні рівняння. Моделювання процесів диференціальними рівняннями 231 7.1. Основні поняття 231 7.2. Диференціальні рівняння першого порядку. Загальний розгляд 233 7.3. Диференціальні рівняння з відокремленими та відокремлюваними змінними 235 7.4. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку 239 7.5. Диференціальні рівняння другого порядку 242 7.5.1. Диференціальне рівняння другого порядку, яке не містить шуканої функції та її похідної 244 7.5.2. Диференціальне рівняння другого порядку, яке не містить шуканої функції 245 7.6. Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами 246 7.7. Моделювання процесів лінійним однорідним диференціальним рівнянням першого порядку 249 7.7.1. Радіоактивний розпад 249 7.7.2. Закон поглинання світла Бугера та закон поглинання іонізуючого випромінювання 250 7.7.3. Закон охолодження тіла 251 7.7.4. Закон розмноження бактерій 251 7.7.5. Закон розчинення лікарської речовини з таблетки 252 7.8. Кінетика хімічних реакцій 253 7.8.1. Хімічні реакції першого порядку: а -" продукт реакції 253 7.8.2. Хімічні реакції другого порядку: а + b-" продукт реакції 254 7.9. Моделі динаміки розмноження 255 7.9.1. Експонентна модель розмноження 256 7.9.2. Логістична модель розмноження 257 7.10. Модель динаміки епідемії 260 7.11. Фармакокінетичні моделі 263 7.11.1. Однокамерна лінійна фармакокінетична модель 264 7.11.2. Однокамерна лінійна фармакокінетична модель із всмоктуванням 267 7.11.3. Однокамерна лінійна модель з крапельницею 268 Вправи 269 Зміст 9 Розділ 8. Ймовірності випадкових подій 286 8.1. Предмет теорії ймовірностей 286 8.2. Статистичне означення ймовірності випадкової події 287 8.3. Класичне означення ймовірності випадкової події 290 8.4. Теоретико-множинний розгляд випадкових подій 292 8.5. Функція ймовірностей 295 8.6. Умовна ймовірність 298 8.7. Теореми множення ймовірностей 300 8.8. Теореми додавання ймовірностей 303 8.9. Формула повної ймовірності 307 8.10. Формула Байєса 309 Вправи 313 Розділ 9. Аналіз випадкових величин 324 9.1. Випадкова величина 324 9.2. Способи задания закону розподілу для дискретних випадкових величин 325 9.3. Функція розподілу та її властивості 328 9.4. Квантилі . 330 9.5. Функція щільності розподілу та її властивості 333 9.6. Математичне сподівання 336 9.7. Властивості математичного сподівання 339 9.8. Дисперсія та стандартне відхилення 341 9.9. Властивості дисперсії 343 9.10. Центровані та нормовані випадкові величини 345 Вправи 347 Розділ 10. Основні закони розподілу випадкових величин 364 10.1. Біномний закон розподілу 364 10.2. Поліномний розподіл 367 10.3. Апроксимаційні формули Муавра - Лапласа 368 10.4. Розподіл Пуассона 371 10.5. Рівномірний розподіл 373 10.6. Експонентний розподіл 375 10.7. Нормальний закон розподілу 377 10.8. Стандартний нормальний розподіл 379 Вправи 382 10 Зміст Розділ 11. Граничні закони теорії ймовірностей 391 11.1. Сукупність незалежних випадкових величин 391 11.2. Нерівність Чебишова. Перша форма 395 11.3. Нерівність Чебишова. Друга форма 397 11.4. Закон великих чисел у формі Чебишова 400 11.5. Застосування теореми Чебишова в теорії вимірювань 403 11.6. Закон великих чисел у формі Бернуллі 405 11.7. Центральна гранична теорема. Прикладне значення центральної граничної теореми 407 Вправи 411 Розділ 12. Закони розподілу статистик вибірки 414 12.1. x?-розподіл (розподіл Пірсона) 414 12.2. t-розподіл (розподіл Стьюдента) 419 12.3. F-розподіл (розподіл Фішера - Снедекора) 425 Вправи 430 Список літератури 434 Додаток 437