У підручнику розглядається: розділ І - "Паралельність і перпендикулярність"; розділ II - Методи перетворення ортогональних проекцій"; розділ III -"Поверхні", викладених у п'ятнадцяти темах. Матеріал підручника викладений в розширеному обсязі й охоплює інформацію по утворенню проекцій, виконанню проекцій точок, прямих, площин, поверхонь та їх взаємного розташування, - як елементів-визначників технічного виробу. Викладення матеріалу наведено у формі оповідання про дії в просторі та їх символічного запису, що, на погляд автора, сприяє уявленню дій, які виконуються в просторі. У кожній темі є теоретична частина, приклади розв'язку задач, завдання та запитання по темі. У додатках наведено умови епюрних задач які виконуються при вивченні матеріалу кожного розділу. В підручнику показано нарисну геометрію як основу побудови зображень на машинобудівних кресленнях. Підручник відповідає програмі курсу "Інженерна графіка" (розділ "Нарисна геометрія"), яка затверджена Міністерством освіти і науки України і рекомендована для вузів (крім архітектурних та будівельних). ББК22.151я72 Зміст Передмова 14 Прийняті умовні позначення, знаки та скорочення 16 Вступ 21 8.1. Методи проектування . . 22 В. 1.1. Центральне проектування 22 В. 1.2. Паралельне проектування 22 8.2. Окремі властивості паралельного проектування 23 8.3. Метод Монжа 24 8.4. Площини проекцій і осі координат 24 Розділ І. Паралельність і перпендикулярність 26 Тема 1. Точка 26 1.1. Зображення елементів простору на епюрі 26 1.2. Координати точки та її проекції 26 1.3. Утворення епюра точки 29 1.4. Методи побудови третьої проекції точки за її двома даними 29 1.5. Розв'язання прямої задачі н. г. (побудова кресленика) 31 1.6. Розв'язання зворотної задачі н. г. (читання кресленика) 31 1.7. Належність точок елементам тригранного кута (першого октанта). 32 1.8. Задачі для розв'язку 32 Запитання для самоконтролю 35 Тема 2. Пряма 36 2.1. Положення прямих відносно площин проекцій 36 2.2. Пряма загального положення 36 2.3. Пряма рівня 37 2.3.1. Горизонтальна пряма 37 2.3.2. Фронтальна пряма 37 2.3.3. Профільна пряма 38 2.4. Прямі проектуючі 38 2.4.1. Горизонтально проектуюча пряма 39 2.4.2. Фронтально проектуюча пряма 39 2.4.3. Профільно проектуюча пряма 40 2.5. Визначення натуральної величини відрізка прямої загального положення і кутів нахилу його до площин проекцій 40 2.5.1. Метод прямокутного трикутника 40 2.5.2. Метод Монжа 43 2.6. Ділення відрізка в заданому співвідношенні 44 2.7. Сліди прямої 44 2.7.1. Сліди прямих окремого положення 45 2.8. Взаємне положення прямих 46 2.8.1. Паралельні прямі 47 2.8.2. Прямі, які перетинаються 47 2.8.3. Мимобіжні прямі 48 2.9. Графічне дослідження параметрів прямої лінії 48 2.10. Задачі для розв'язку 52 Запитання для самоконтролю 55 Тема 3. Площина 56 3.1. Способи задания площин 56 3.2. Сліди площин 57 3.3. Площина загального положення 60 3.3.1. Прямі і точки в площині 60 3.3.1.1. Ознаки належності прямої до площини 60 3.3.1.2. Ознака належності точки до площини 61 3.3.2. Прямі окремого положення в площині 61 3.3.2.1. Горизонталь в площині 61 3.3.2.2. Фронталь в площині 62 3.4. Перезадання площини 64 3.5. Лінія найбільшого нахилу площини 65 3.6. Площини окремого положення 66 3.6.1. Проектуючі площини 67 3.6.1.1. Горизонтально проектуюча площина 67 3.6.1.2. Фронтально проектуюча площина 68 3.6.1.3. Властивості проектуючих площин 69 3.6.2. Площини рівня 69 3.6.2.1. Горизонтальна площина 69 3.6.2.2. Фронтальна площина 70 3.6.2.3. Профільна площина 71 3.6.2.4. Висновки стосовно площин рівня 71 3.7. Приклади розв'язків задач 72 3.8. Задачі для розв'язку 78 Запитання для самоконтролю 81 Тема 4. Взаємне положення площин 82 4.1. Відсіки, які зливаються (належать одній площині) 82 4.2. Паралельні площини 83 4.3. Площини, які перетинаються 85 4.3.1. Загальний метод побудови лінії перетину площин 85 4.3.2. Побудова лінії перетину двох площин заданих слідами 88 4.3.2.1. Побудова лінії перетину двох площин з парою паралельних однойменних слідів 89 4.3.2.2. Побудова лінії перетину площин рівня з площиною загального положення 90 4.3.2.3. Побудова лінії перетину площини проектуючої з площиною загального положення 90 4.4. Побудова лінії перетину площини проектуючої з площиною заданою не слідами 91 4.5. Приклади розв'язків задач 92 4.6. Задачі для розв'язку 95 Запитання для самоконтролю 96 Тема 5. Положення прямої і площини. 97 5.1. Пряма і площина перетинаються. 97 5.1.1. Часткові випадки 100 5.2. Пряма і площина паралельні 102 5.2.1. Паралельність прямої до площини 102 5.2.2 .Паралельність площини до прямої 103 5.3. Приклади розв'язків задач 103 5.4. Задачі для розв'язку 106 Запитання для самоконтролю 108 Тема 6. Перпендикулярність прямих і площин 109 6.1. Проекції прямого кута 109 6.2. Перпендикулярність прямої і площини 110 6.2.2. Перпендикулярність виду 1-2 111 6.3. Перпендикулярність двох прямих 112 6.3.1. Перпендикулярність виду 2-1 112 6.3.2. Перпендикулярність виду 2-2 113 6.4. Перпендикулярність двох площин 114 6.4.1. Перпендикулярність виду 3-1 114 6.4.2. Перпендикулярність виду 3-2 115 6.5. Приклади розв'язків задач 116 6.6. Задачі для розв'язку 123 Запитання для самоконтролю 126 Тема 7. Геометричні місця простору 127 7.1. Геометричні місця точок у просторі 127 7.2. Геометричні місця прямих у просторі 129 7.3. Геометричні місця площинну просторі 130 7.4. Приклади розв'язків задач 131 7.5. Задачі для розв'язку 135 Запитання для самоконтролю 137 Епюр № 1 138 Розділ II. Методи перетворення ортогональних проекцій 147 II. 1. Види перетворень ортогональних проекцій 147 Тема 8. Метод заміни площин проекцій 150 8.1. Заміна однієї площини проекцій 151 8.2. Виконання перетворень методом заміни площин проекцій 152 8.2.1. Перетворення прямої загального положення в пряму рівня (перетворення виду № 1 152 8.2.2. Перетворення прямої рівня в пряму проектуючу (перетворення виду № 2) 153 8.2.3. "Перетворення площини загального положення в площину проектуючу (перетворення виду № 3) 154 8.2.4. Перетворення площини проектуючої в площину рівня (перетворення виду №4) 155 8.3. Заміна двох площин проекцій 156 8.3.1. Перетворення прямої загального положення в проектуючи пряму (перетворення виду № 1+2) 158 8.3.2. Перетворення площини загального положення в площину рівня (перетворення виду № 3+4) 159 8.4. Приклади розв'язків задач 160 8.5. Задачі для розв'язку 165 Запитання для самоконтролю . 167 Графічна робота № 1 168 Тема 9. Метод обертання 173 9.1. Обертання об'єкта навколо проектуючої прямої 173 9.2. Виконання перетворень методом обертання навколо проектуючої осі 174 9.2.1. Перетворення виду № 1 174 9.2.2. Перетворення виду № 2 176 9.2.3. Перетворення виду № 3 177 9.2.4. Перетворення виду № 4 179 9.2.5. Перетворення виду № 3 + № 4 180 9.3. Обертання об'єкта навколо лінії рівня 182 9.3.1. Перетворення виду № 3 +№ 4 184 9.4. Обертання об'єкта навколо прямої загального положення 185 9.5. Обертання об'єкта навколо лінії нульового рівня (метод суміщення) 186 9.5.1. Виконання перетворень методом суміщення 189 9.5.1.1. Перетворення виду № 1 189 9.5.1.2. Перетворення виду № 3 + № 4 191 9.6. Обертання безвісне. Метод плоско-паралельного переміщення . 193 9.6.1. Виконання перетворень методом плоско-паралельного переміщення 195 9.6.1.1. Перетворення виду № 1 195 9.6.1.2. Перетворення виду № 2 196 9.6.1.3. Перетворення виду № 1 +№2 197 9.6.1.4. Перетворення виду № 3 198 9.6.1.5. Перетворення виду № 4 200 9.6.1.6. Перетворення виду № 3 +№4 201 II. 2. Приклади розв'язування задач із застосуванням методів перетворення проекцій 202 9.7. Задачі для розв'язку 203 Запитання для самоконтролю 212 Епюр № 2 214 Розділ III. Поверхні 222 Тема 10. Криві лінії і поверхні 222 10.1. Криві лінії 222 10.1.1. Плоскі криві лінії 222 10.1.2. Проекції плоских кривих 223 10.1.3. Властивості кривих та їх проекцій 226 10.2. Поверхні 227 10.2.1. Багатогранники 227 10.2.2. Криві поверхні та їх визначники 228 10.2.3. Лінійчаті розгортувальні поверхні 230 10.2.3.1. Циліндрична поверхня 230 10.2.3.2. Конічна поверхня 231 10.2.3.3. Апроксимація кривих поверхонь 233 10.2.4. Лінійчаті нерозгортні поверхні 233 10.2.5. Поверхні обертання 235 10.3. Приклади розв'язку задач 237 10.4. Задачі для розв'язку 243 Запитання для самоконтролю 245 Тема 11. Перерізи та розгортки поверхонь 246 11.1. Загальна методика побудови лінії перерізу поверхні - січною площиною 246 11.1.1. Особливості вибору посередників 247 11.1.2. Види задач на побудову лінії перерізу 247 11.2. Рішення задач першого виду (в яких січна площина - площина окремого положення перерізає довільну поверхню) 248 11.2.1. Перерізи поверхонь гранних тіл 248 11.2.2. Перерізи циліндричних поверхонь 251 11.2.3. Перерізи поверхні прямих кругових конусів 254 11.2.3.1. Переріз поверхні конуса площиною, паралельною до його основи 254 11.2.3.2. Переріз поверхні конуса площиною, яка проходить через його вершину 255 11.2.3.3. Переріз поверхні конуса площиною, яка паралельна його одній твірній 256 11.2.3.4. Переріз поверхні конуса площиною, яка паралельна його двом твірним 256 11.2.3.5. Переріз поверхні конуса площиною, яка розташована під гострим кутом до його осі 258 11.2.4. Перерізи замкнених поверхонь 259 11.2.4.1. Перерізи поверхні сфери 259 11.2.4.2. Перерізи поверхні тору 261 11.2.4.3. Перерізи поверхні еліпсоїда обертання 262 11.2.4.4. Перерізи поверхні триосьового еліпсоїда 263 11.2.5. Перерізи поверхонь гіперболоїдів 264 11.2.5.1. Перерізи поверхні однопорожнинного гіперболоїда 264 11.2.5.2. Перерізи поверхні двопорожнинного гіперболоїда 266 11.2.6. Перерізи поверхні параболоїда 266 11.3. Розв'язок задач другого виду (в яких січна площина - площина загального положення перерізає довільну поверхню) 269 11.3.1. Переріз поверхні похилого конуса 270 11.4. Розгортай поверхонь 272 11.4.1. Побудова розгортай методом суміщення 273 11.4.1.1. Розгортка поверхні прямої шестигранної піраміди, зрізаної проектуючою площиною 273 11.4.2. Побудова розгорток методом трикутників 276 11.4.2.1. Розгортка поверхні похилої тригранної піраміди, перерізаної площиною загального положення 276 11.4.3. Побудова розгортай методом тріангуляції 281 11.4.3.1. Розгортка поверхні прямого коноїда 281 11.4.4. Побудова розгортай методом розкочування 284 11.4.4.1. Розгортка поверхні похилого кругового циліндра 284 11.4.5. Побудова наближених розгорток 285 11.4.5.1. Розгортка поверхні сфери 285 11.5. Задачі для розв'язку 286 Запитання для самоконтролю 292 Тема 12. Перетин прямої з поверхнею 293 12.1. Загальна методика визначення взаємного положення прямої і поверхні 293 12.1.1. Рекомендації по виконанню загальної методики визначення взаємного положення прямої і поверхні 294 12.2. Групи задач на побудову точок зустрічі прямої з поверхнею 295 12.3. Деякі властивості поверхонь другого порядку 296 12.4. Окремі випадки розв'язків задач 296 12.5. Розв'язок задач Групи 1, в розв'язанні яких застосовують посередники - площини окремого положення з наступним перетворенням перерізу 298 12.5.1. Приклади розв'язку задач з застосуванням методу А (перетворення проекцій; 299 12.5.2. Приклади розв'язку задач з застосуванням методу В (перетворення перерізу в обрисову методом обертання) 301 12.5.3. Родинність геометричних образів 302 12.5.3.1. Родинність в паралельному проектуванні (паралельна родинність) 303 12.5.3.2. Застосування паралельної родинності в розв'язку задач 304 12.5.3.3. Родинність в центральному проектуванні (центральна родинність) 306 12.5.4. Приклади розв'язку задач з застосуванням методу В (перетворення перерізу в обрисову поверхні способом родинної відповідності) 307 12.5.5. Приклади розв'язку задач з застосуванням методу С (перетворення складної лінії перерізу в просте його родинне зображення) 309 12.6. Рішення задач Групи 2, к яких застосовуються посередники - площини загального положення 310 12.6.1. Загальний алгоритм побудови точок перетину прямої з поверхнею піраміди або конуса 311 12.6.2. Загальний алгоритм побудови точок перетину прямої з поверхнею похилої призми або циліндра 312 12.7. Рішення задач Групи 3, і. яких застосовується перетворення методом родинності поверхонь 315 12.7.1. Виконання переходу від заданої поверхні до родинної 315 12.7.2. Алгоритм розв'язку задач Групи 3 способом центрального проектування 318 12.7.3. Приклади розв'язку задач Групи 3 319 12.8. Розв'язок задач Групи 4, в яких визначається відстань від точки до поверхні 325 12.8.1. Приклади рішення задач Групи 4 325 12.9. Задачі для рішення 328 Запитання для самоконтролю 330 Тема 13. Перетин поверхонь 331 13.1. Загальна методика побудови лінії перетину поверхонь 331 13.1.1. Особливості побудови лінії перетину поверхонь 333 13.1.2. Типи задач в залежності від виду посередника 334 13.2. Задачі типу А, в розв'язку яких застосовуються посередники - площини окремого положення 334 13.2.1. Перетин гранних поверхонь 335 13.2.2. Перетин гранної проектуючої поверхні з довільною кривою поверхнею 338 13.2.3. Перетин довільних кривих поверхонь, одна з яких проектуюча 342 13.2.4. Перетин кривих поверхонь 345 13.3. Задачі типу В, в розв'язку яких застосовуються посередники - поверхні сфери 349 13.3.1. Побудова лінії перетину співвісних поверхонь обертання.349 13.3.1.1. Утворення співвісних поверхонь обертання та їх ліній перетину 349 13.3.1.2. Утворення та побудова ліній перетину співвісних поверхонь циліндра і сфери 351 13.3.1.3. Утворення та побудова перетину співвісних поверхонь конуса і сфери 353 13.3.2. Побудова лінії перетину поверхонь обертання, осі яких - лінії окремого положення 354 13.3.2.1. Приклади розв'язку задачі першої групи, в якій перетинаються поверхні обертання 355 13.3.2.2. Вид лінії перетину поверхонь, в задачах першої групи та її проекції 358 13.3.2.3. Приклад розв'язку задач другої групи, в яких перетинаються поверхні обертання, осі яких - мимобіжні прямі 360 13.4. Задачі типу С, в розв'язку яких застосовують посередники - площини загального положення 363 13.4.1. Спільні точки лінії перетину поверхонь та вибір посередників - площин для їх побудови 363 13.4.1.1. Перетин поверхонь двох похилих конусів, двох пірамід, або конуса і піраміди 363 13.4.1.2. Перетин поверхонь двох похилих циліндрів, призм, або циліндра і призми. 365 13.4.1.3. Перетин поверхонь похилих конуса, або піраміди з циліндром, чи з призмою 367 13.4.2. Рекомендації по утворенню та розташуванню посередників - площин 368 13.4.3. Визначення виду лінії перетину поверхонь 369 13.4.4. Приклади розв'язку задач типу С 371 13.5. Задачі для розв'язку 374 Запитання для самоконтролю 376 Тема 14. Зображення на кресленні моделі 377 14.1. Види 377 14.2. Розрізи 379 14.2.1. Особливості виконання розрізів 380 14.3. Зображення креслень моделей з одним горизонтальним отвором (одинарне проникнення) 381 14.3.1. Модель призматична 382 14.3.2. Модель пірамідальна 384 14.3.3. Модель циліндрична 386 14.3.4. Модель конічна 387 14.3.5. Модель кульовидна 390 14.4. Зображення креслення моделі з двома (горизонтальним та вертикальним) отворами. Епюр № 3 (подвійне проникнення) . 392 14.5. Задачі для розв'язку 404 Запитання для самоконтролю 405 Тема 15. Аксонометричні проекції 406 15.1. Основні визначники аксонометричної проекції 406 15.2. Види, осі, показники спотворення аксонометричних проекцій 407 15.3. Аксонометрія точки 408 15.4. Аксонометрія багатокутника 409 15.5. Аксонометричні проекції кола 410 15.5.1. Ізометрія кола. 411 15.5.2. Диметрія кола 412 15.5.3. Фронтальна ізометрія кола 415 15.6. Штриховка в розрізах, умовності та нанесення розмірів на аксонометричних проекціях 415 15.7. Послідовність виконання аксонометричної проекції деталі 416 15.7.1. Ізометрія деталі 417 15.7.2. Прямокутна та фронтальна диметрія деталей 419 15.8. Задачі для розв'язку 421 Запитання для самоконтролю 422 Додатки 423 Список використаної літератури 438