Посібник складається з одинадцяти розділів, що охоплюють навчальний матеріал, необхідний для опанування основ курсу математики українською мовою, ознайомлення слухачів-іноземців з основними поняттями і термінами математики, а також для поглиблення знань з математики, які необхідні цим студентам для навчання в " університеті. Матеріал посібника відповідає типовій програмі з математики для слухачів підготовчих факультетів/відділень для іноземних громадян. Текст посібника адаптований відповідно до чинної програми з української мови для слухачів-іноземців, містить необхідну лексику та конструкції наукового стилю мовлення, які забезпечують розуміння текстів підручників та лекцій у ВНЗ студентами-іноземцями у загальному потоці з громадянами України. Для слухачів-іноземців підготовчих факультетів/відділень для іноземних громадян, а також для громадян України - слухачів підготовчих курсів для підготовки до ЗНО. Зміст Передмова 17 1. Арифметика 19 1.1 Множина цілих чисел і її підмножини 21 1.1.1 Знаки і числа 21 1.1.2 Множини чисел 22 1.2 Арифметичні дії 26 1.2.1 Додавання 26 1.2.2 Віднімання 27 1.2.3 Множення 27 1.2.4 Ділення 27 1.3 Порядок дій 31 1.3.1 Приклади лише з діями додавання і віднімання 31 1.3.2 Приклади лише з діями множення і ділення 32 1.3.3 Приклади з усіма арифметичними діями 32 1.3.4 Приклади з дужками 33 1.4 Дроби 36 1.4.1 Поняття дробу 36 1.4.2 Прості дроби 36 1.4.3 Десяткові дроби 39 1.5 Дії з дробами 41 1.5.1 Додавання і віднімання дробів 41 1.5.2 Множення дробів 43 1.5.3 Ділення дробів 44 1.6 Відношення 46 1.6.1 Означення 46 1.6.2 Задачі на відношення 47 1.7 Пропорції 49 1.7.1 Означення пропорції 49 1.7.2 Два типи задач на пропорції: 51 1.7.3 Прямо-пропорційна залежність 52 1.7.4 Обернено-пропорційна залежність 53 1.8 Проценти (відсотки) 55 1.8.1 Три типи задач на проценти 56 1.8.2 Приклади розв'язання задач 57 2. Тотожні перетворення алгебраїчних виразів 59 2.1 Множина дійсних чисел 61 2.1.1 Раціональні числа 61 2.1.2 Ірраціональні числа 62 2.1.3 Дійсні числа (R) 62 2.1.4 Числова вісь 64 2.1.5 Модуль числа (абсолютна величина числа) 66 2.2 Степінь числа з натуральним показником а" 70 2.2.1 Властивості степеня 70 2.2.2 Степінь з цілим показником 72 2.3 Корінь. Властивості кореня 75 2.3.1 Степінь з раціональним показником 75 2.3.2 Арифметичний корінь 76 2.4 Алгебраїчний корінь 76 2.4.1 Властивості коренів 77 2.4.2 Степінь з раціональним показником 79 2.4.3 Взірці виконання прикладів 80 2.5 Алгебраїчні вирази 84 2.5.1 Алгебраїчні вирази 84 2.5.2 Числове значення алгебраїчного виразу 85 2.5.3 Область допустимих значень алгебраїчного виразу (ОДЗ) 86 2.5.4 Дії з одночленами 87 2.5.5 Зведення радикалу до найпростішого вигляду 90 2.6 Дії з одночленами і многочленами. Арифметичні дії з цілими алгебраїчними виразами 94 2.6.1 Додавання і віднімання многочленів 95 2.6.2 Множення і ділення многочлена на одночлен 96 2.6.3 Множення і ділення многочлена на многочлен 97 2.6.4 Ознака подільності многочлена на двочлен 98 2.7 Формули скороченого множення 100 2.7.1 Означення, формули, їхнє узагальнення 100 2.7.2 Узагальнені формули 102 2.7.3 Зразки розв'язування прикладів на формули скороченого множення 102 2.8 Розклад алгебраїчних виразів на множники 105 2.8.1 Основні поняття і методи 105 2.8.2 Винесення спільного множника за дужки 106 2.8.3 Метод групування 107 2.8.4 Використання формул скороченого множення 107 2.8.5 Використання ознаки подільності многочленів 108 2.9 Алгебраїчні дроби і дробові вирази 111 2.9.1 Область допустимих значень (ОДЗ) 111 2.9.2 Основна властивість дробу 112 2.9.3 Множення алгебраїчних дробів і дробових виразів.... 113 2.9.4 Ділення алгебраїчних дробів і дробових виразів 114 2.10 Дії з алгебраїчними дробовими виразами (додавання і віднімання) 117 2.10.1 Алгоритм дій 117 2.10.2 Розв'язування прикладів з поясненнями 118 2.11 Розв'язування прикладів на всі дії з дробовими виразами...122 2.11.1 Взірці розв'язування прикладів на всі дії з поясненнями 122 3. Раціональні та ірраціональні рівняння і системи рівнянь 127 3.1 Рівність, тотожність, рівняння та їхні властивості 129 3.1.1 Означення 129 3.1.2 Властивості рівнянь 130 3.1.3 Лінійне рівняння з одним невідомим 131 3.1.4 Розв'язок лінійного рівняння 132 3.1.5 Дослідження лінійного рівняння 132 3.1.6 Рівняння з невідомим у знаменнику 133 3.1.7 Рівняння, що містить знак модуля 134 3.2 Системи лінійних рівнянь 138 3.2.1 Означення : 138 3.2.2 Методи розв'язування: 138 3.2.2.1 Метод підстановки 139 3.2.2.2 Метод алгебраїчного додавання 139 3.2.2.3 Метод визначників (детермінантів) 140 3.2.2.4 Графічний метод розв'язування системи 141 3.2.3 Взірці розв'язування систем, що зводяться до лінійних 143 3.2.4 Дослідження системи двох лінійних рівнянь 145 3.2.5 Приклади на дослідження системи 146 3.3 Квадратні рівняння 151 3.3.1 Види квадратних рівнянь 151 3.3.2 Розв'язки неповних квадратних рівнянь 152 3.3.2.1 Неповне квадратне рівняння виду ах2 +bх = 0 152 3.3.2.2 Неповне квадратне рівняння виду ах2 + с = 0.. 152 3.3.2.3 Неповне квадратне рівняння виду ах2 = 0 153 3.3.2.4 Розв'язки неповних квадратних рівнянь 153 3.3.3. Розв'язки повних квадратних рівнянь 153 3.3.3.1 Доведення формули коренів повного квадратного рівняння 154 3.3.4 Зразки розв'язування прикладів 155 3.3.5 Дослідження рівняння ax2+bx+c=0 158 3.4 Теорема Вієта. Рівняння, що зводяться до квадратних 162 3.4.1 Теорема Вієта 162 3.4.2 Взірці розв'язування прикладів на теорему Вієта 163 3.4.3 Розклад квадратного тричлена на множники 164 3.4.4 Рівняння, що зводяться до квадратних 165 3.4.4.1 Біквадратні рівняння 165 3.4.4.2 Заміна змінних в алгебраїчних рівняннях 166 3.4.4.3 Рівняння з оберненими виразами 167 3.4.4.4 Рівняння виду (X-a)k+(x-b)k=d, k=2,3,4... 167 3.4.4.5 Рівняння виду ах4 + bх3 + сх2 + bх + а = 0. (симетричні рівняння)168 3.5 Системи нелінійних рівнянь 170 3.5.1 Основні методи розв'язування 170 3.5.2 Системи двох раціональних рівнянь,одне з яких лінійне 170 3.5.3 Системи рівнянь виду: 171 3.5.4 Системи рівнянь виду 172 3.5.5 Системи рівнянь, симетричних відносно невідомих.... 173 3.5.6 Системи рівнянь, що розв'язуються методом розкладання на множники 174 3.5.7 Системи однорідних рівнянь 174 3.5.8 Розв'язування систем рівнянь за допомогою виконання арифметичних дій над рівняннями 176 3.6 Ірраціональні рівняння 178 4. Раціональні та ірраціональні нерівності 185 4.1 Числові нерівності та їхні властивості 187 4.1.1 Дії*з числовими нерівностями 187 4.1.2 Властивості нерівностей 187 4.1.3 Дії" над числовими нерівностями 189 4.1.4 Додавання нерівностей 189 4.1.5 Віднімання нерівностей 189 4.1.6 Множення нерівностей 189 4.1.7 Піднесення до степеня 190 4.1.8 Ділення нерівностей 190 4.1.9 Доведення нерівностей 191 4.2 Нерівності зі змінною. Лінійні нерівності. Системи лінійних нерівностей 194 4.2.1 Запис числових множин за допомогою нерівностей... 194 4.2.2 Рівносильність (еквівалентність) нерівностей 194 4.2.3 Лінійні нерівності 195 4.2.3.1 Означення 195 4.2.3.2 Розв'язування лінійних нерівностей 195 4.2.3.3 Нерівності зі знаком модуля 197 4.2.4 Розв'язування систем лінійних нерівностей 198 4.3 Раціональні нерівності 201 4.3.1 Квадратні нерівності 201 4.3.2 Цілі раціональні нерівності 206 4.3.3 Дробово-раціональні нерівності 208 4.4 Ірраціональні нерівності 211 4.4.1 Приклади розв'язування ірраціональних нерівностей:.. 213 5. Трансцендентні рівняння і нерівності 219 5.1 Показникові рівняння, їхні види і методи розв'язку 221 5.1.1 Показникові рівняння 221 5.1.2 Основні методи розв'язування показникових рівнянь... 221 5.1.2.1 Рівняння виду аf(х) =1 (а>0;а?1) 222 5.1.2.2 Рівняння виду аf(х) =аа (а>0;а?1) 222 5.1.2.3 Рівняння виду аf(х) =b {а>0;а?1) 223 5.1.2.4 Рівняння виду A0атx A1атx+k0 +...+ Anатx+kn-1 =М 224 5.1.2.5 Рівняння виду A0а2х + A1аx + A2 =0 225 5.1.2.6 Рівняння виду Aа2x + Вахbх + Сb2х = 0 226 5.1.2.7 Деякі види складних показникових рівнянь... 226 5.1.3 Графічний метод розв'язку 227 5.2 Логарифмічні рівняння 231 5.2.1 Основні властивості логарифму: 231 5.2.2 Логарифмічні рівняння 232 5.2.3 Основні методи розв'язку логарифмічних рівнянь 232 5.2.3.1 Рівняння виду lognx = M 232 5.2.3.2 Рівняння 1-го степеня відносно логарифму... 233 5.2.3.3 Використання заміни: logn х = у для зведення логарифмічного рівняння до раціонального... 235 5.2.3.4 Рівняння, які містять невідоме в основі і в показнику ступеня 237 5.2.3.5 Логарифмічні рівняння, в яких використовують формули: a loga N=N; loga b= (а >0; а ? 1; b>0; b?1; с>0; с ?1)……. 238 5.2.4 Графічний метод розв'язку логарифмічних рівнянь 240 5.3 Показникові нерівності та їх розв'язок 242 5.3.1 Показникові нерівності 242 5.3.2 Види показникових нерівностей і методи їх розв'язку.. 243 5.3.2.1 Нерівності виду: af(x)<> n?{x) 243 5.3.2.2 Нерівності виду: а?(х) <> b 244 5.3.2.3 Нерівності видуАа2х + Вах + С<> 0 245 5.4 Логарифмічні нерівності та їхній розв'язок 247 5.4.1 Логарифмічні нерівності 247 5.4.2 Види логарифмічних нерівностей і методи їх розв'язку 248 5.4.2.1 Нерівності виду: loga f(x) >< loga ?{x) 248 5.4.2.2 Нерівність виду: loga ?(х) >< К, (а > 0, а ? 1).. 249 5.4.2.3 Нерівність показниково-логарифмічного і логарифмічно-показникового видів 251 6. Тригонометрія 255 6.1 Тригонометричні функції гострого кута, будь-якого кута та співвідношення між ними 257 6.1.1 Елементи прямокутного трикутника 257 6.1.2 Означення тригонометричних функцій 257 6.1.3 Тригонометричні функції довільного кута 258 6.1.4 Основні співвідношення між тригонометричними функціями одного кута: 261 6.2 Формули зведення 264 6.2.1 Взірці розв'язування прикладів 267 6.3 Тригонометричні функції суми і різниці кутів 269 6.3.1 Формули перетворення 269 6.3.2 Доведення формул тригонометричних функцій суми чи різниці кутів: 270 6.3.3 Взірці розв'язання прикладів: 272 6.4 Тригонометричні функції подвійного і половинного кутів.... 275 6.4.1 Тригонометричні функції подвійного кута 275 6.4.2 Взірці розв'язування прикладів 276 6.4.3 Тригонометричні функції половинного кута 277 6.4.4 Взірці розв'язування прикладів: 278 6.5 Формули перетворення добутку тригонометричних функцій в алгебраїчну суму, а суми в добуток :....281 6.5.1 Формули перетворення добутку тригонометричних функцій в алгебраїчну суму 281 6.5.2 Взірці розв'язання прикладів: 282 6.5.3 Формули перетворення суми тригонометричних функцій у добуток: 283 6.5.4 Взірці розв'язання прикладів 284 5.4.2 Види логарифмічних нерівностей і методи їх розв'язку 248 5.4.2.1 Нерівності виду: loga f(x) >< loga ?{x) 248 5.4.2.2 Нерівність виду: loga ?(х) >< К, (а > 0, а ? 1).. 249 5.4.2.3 Нерівність показниково-логарифмічного і логарифмічно-показникового видів 251 6. Тригонометрія 255 6.1 Тригонометричні функції гострого кута, будь-якого кута та співвідношення між ними 257 6.1.1 Елементи прямокутного трикутника 257 6.1.2 Означення тригонометричних функцій 257 6.1.3 Тригонометричні функції довільного кута 258 6.1.4 Основні співвідношення між тригонометричними функціями одного кута: 261 6.2 Формули зведення 264 6.2.1 Взірці розв'язування прикладів 267 6.3 Тригонометричні функції суми і різниці кутів 269 6.3.1 Формули перетворення 269 6.3.2 Доведення формул тригонометричних функцій суми чи різниці кутів: 270 6.3.3 Взірці розв'язання прикладів: 272 6.4 Тригонометричні функції подвійного і половинного кутів.... 275 6.4.1 Тригонометричні функції подвійного кута 275 6.4.2 Взірці розв'язування прикладів 276 6.4.3 Тригонометричні функції половинного кута 277 6.4.4 Взірці розв'язування прикладів: 278 6.5 Формули перетворення добутку тригонометричних функцій в алгебраїчну суму, а суми в добуток :.... 281 6.5.1 Формули перетворення добутку тригонометричних функцій в алгебраїчну суму 281 6.5.2 Взірці розв'язання прикладів: 282 6.5.3 Формули перетворення суми тригонометричних функцій у добуток: 283 6.5.4 Взірці розв'язання прикладів 284 6.6 Обернені тригонометричні функції 288 6.6.1 Арксинус (arcsinx) 288 6.6.2 Арккосинус (arccos x) 289 6.6.3 Арктангенс (arccos х) 291 6.6.4 Арккотангенс (arcctg x) 293 6.6.5 Взірці розв'язування прикладів 294 6.7 Розв'язок найпростіших тригонометричних рівнянь 299 6.7.1 Рівняння виду sin х = а, |а| < 1 299 6.7.2 Рівняння виду cosх = а, |а|<1 300 6.7.3 Рівняння виду tg х = а, а Є R 301 6.7.4 Рівняння виду ctgx = а, а Є R 302 6.7.5 Взірці розв'язування прикладів 303 6.8 Основні типи тригонометричних рівнянь 306 6.8.1 Рівняння алгебраїчного типу 306 6.8.2 Рівняння, однорідні відносно sin x і cos x 307 6.8.3 Рівняння, що розв'язуються методом розкладання на множники 309 6.8.4 Рівняння лінійного типу a sin x + b cos x = с 310 6.8.5 Рівняння, що розв'язуються за допомогою формул додавання і їхніх наслідків 311 6.8.6 Рівняння, в яких застосовуються перетворення суми тригонометричних функцій в добуток або добутку в суму 313 6.8.7 Рівняння, що розв'язуються методом зниження степеня 314 7. Елементи аналізу 317 7.1 Поняття числової функції 319 7.1.1 Означення функції 319 7.1.2 Способи задания функції 319 7.1.3 Основні елементарні функції 320 7.1.4 Область визначення функції 321 7.1.5 Взірці прикладів на знаходження області визначення функції 322 7.1.6 Множина значень функції 324 7.2 Послідовність, її види та властивості 328 7.2.1 Означення 328 7.2.2 Види послідовностей 329 7.2.3 Властивості послідовності 330 7.3 Означення границі послідовності. Збіжні послідовності 332 7.3.1 Означення 332 7.3.2 Збіжні послідовності 333 7.3.3 Ознака існування границі в послідовності (Ознака Вейєрштрасса): 334 7.4 Теореми про границі. Обчислення границь послідовностей... 338 7.4.1 Теореми про границі послідовностей 338 7.4.2 Доведення теорем про границі послідовностей 338 7.4.2.1 Доведення теореми 1 про границю суми збіжних послідовностей 339 7.4.2.2 Доведення теореми про границю добутку двох збіжних послідовностей 340 7.4.2.3 Доведення теореми про границю частки 340 7.4.3 Взірці розв'язування прикладів на обчислення границь 341 7.5 Означення границі функції. Неперервність функції 344 7.5.1 Границя функції 344 7.5.2 Границя функції f(x) прямує до нескінченості 345 7.5.3 Границя функції f(x) в точці (або коли )х ? х0 346 7.5.4 Геометричний зміст границі функції в точці 346 7.5.5 Види границь функції 348 7.5.6 Неперервність функції 350 7.5.7 Взірці розв'язування прикладів: 351 7.6 Теореми про границі функції. Обчислення границь 354 7.6.1 Теореми про границі функції 354 7.6.2 Доведення теореми про границю суми двох функцій, коли х прямує до х0 355 7.6.3 Взірці розв'язування задач на обчислення границь 356 7.7 Похідна. Геометричний та фізичний зміст похідної 363 7.7.1 Означення 363 7.7.2 Геометричний та фізичний зміст похідної 364 7.8 Основні правила диференціювання 367 7.8.1 Основні теореми диференціювання: 367 7.8.2 Формули диференціювання функцій 369 7.8.3 Взірці розв'язування прикладів 371 7.9 Диференціювання складеної функції. Диференціювання оберненої функції 375 7.9.1 Диференціювання складеної функції 375 7.9.2 Диференціювання оберненої функції 376 7.9.3 Взірці розв'язування прикладів 377 7.10 Первісна. Інтеграл 379 7.10.1 Первісна 379 7.10.2 Основна властивість первісної 381 7.10.3 Невизначений інтеграл 384 7.10.4 Взірці розв'язування прикладів 385 7.11 Методи інтегрування функцій 387 7.11.1 Метод заміни змінної чи підстановки 388 7.11.2 Взірці розв'язування прикладів 388 7.11.3 Метод інтегрування частинами 390 7.11.4 Взірці розв'язування прикладів 390 7.12 Визначений інтеграл 393 7.12.1 Означення 393 7.12.2 Взірці розв'язування прикладів 393 7.12.3 Властивості визначеного інтеграла 395 7.12.4 Взірці розв'язування прикладів 396 7.12.5 Об'єм тіла обертання 398 8. Дослідження функцій 401 8.1 Загальні властивості і характерні точки функції 403 8.1.1 Точки перетину графіка функції з осями координат 403 8.1.2 Взірці розв'язання прикладів 403 8.2 Парність і непарність функції 405 8.2.1 Означення 405 8.2.2 Взірці розв'язування прикладів 407 8.3 Періодичність функції 409 8.3.1 Означення 409 8.3.2 Взірці розв'язання прикладів 410 8.4 Монотонність 412 8.4.1 Означення 412 8.4.2 Ознаки монотонності 413 8.4.3 Взірці розв'язання прикладів 414 8.5 Критичні точки функції 416 8.5.1 Означення 416 8.5.2 Взірці розв'язання прикладів 416 8.6 Екстремуми функції 417 8.6.1 Означення 417 8.6.2 Необхідна та достатня ознаки екстремуму 418 8.6.3 Взірці розв'язання прикладів 421 8.7 Асимптоти 425 8.7.1 Означення 425 8.7.2 Правило знаходження асимптот 426 8.8 Властивості і графіки основних елементарних функцій 430 8.8.1 Лінійна функція 430 8.8.2 Квадратична функція 431 8.8.3 Степенева функція 432 8.8.4 Показникова функція 433 8.8.5 Логарифмічна функція 433 8.8.6 Тригонометричні функції 434 8.8.7 Обернені тригонометричні функції 437 8.9 Загальна схема вивчення функцій і побудова їхніх графіків 439 8.9.1 Схема побудови графіків функцій 439 8.9.2 Взірці розв'язання прикладів 440 9. Елементи векторної алгебри 451 9.1 Вектори і скаляри 453 9.1.1 Види векторів 453 9.1.2 Проекція вектора на вісь координат 455 9.2 Дії над векторами 457 9.2.1 Множення вектора на скаляр 457 9.2.2 Додавання векторів 458 9.2.3 Віднімання векторів: 462 9.2.4 Розкладання вектора по базису 464 9.3 Лінійні операції над векторами, що задані своїми координатами 465 9.3.1 Координати точки 465 9.3.2 Координати вектора 466 9.3.3 Лінійні операції над векторами, що задані своїми координатами 466 9.3.4 Взірці розв'язування типових прикладів 468 10. Планіметрія 477 10.1 Основні поняття 479 10.1.1 Точки, прямі, кути 479 10.1.2 Коло і прямі, коло і кути 481 10.1.3 Кути і трикутники 482 10.1.4 Елементи трикутника 484 10.1.5 Коло, вписане в трикутник 485 10.1.6 Коло, описане навколо трикутника 485 10.1.7 Ознаки рівності та подібності трикутників 485 10.2 Задачі на метричні співвідношення у прямокутному трикутнику 488 10.2.1 Задача 1 (Теорема Піфагора) 488 10.2.2 Задача 2 (Властивість висоти, яка опущена на гіпотенузу) 489 10.2.3 Приклади розв'язування задач: 489 10.3 Задачі на метричні співвідношення в косокутних трикутниках 493 10.3.1 Задачі на доведення 493 10.4 Формула площі трикутника 496 10.4.1 Задачі на доведення формул площі трикутника 496 10.4.2 Задачі на обчислення 500 10.5 Метричні співвідношення в крузі 505 10.5.1 Основні поняття 505 10.5.2 Взірець задачі на обчислення 507 10.6 Чотирикутники, їхні види і властивості 509 10.6.1 Паралелограм 509 10.6.1.1 Властивості паралелограмів: 510 10.6.2 Формули площі паралелограма: 510 10.7 Особливі види паралелограмів - ромб, прямокутник, квадрат 512 10.7.1 Ромб 512 10.7.2 Прямокутник 513 10.7.3 Квадрат..... 513 10.8 Трапеція 514 10.8.1 Означення і елементи трапеції 514 10.8.2 Властивості трапецій: 515 10.8.3 Взірці розв'язування задач на обчислення 517 11. Стереометрія 523 11.1 Взаємне розташування прямих і площин в просторі 525 11.1.1 Основні поняття стереометрії 525 11.1.2 Умови паралельності прямих і площин у просторі... 525 11.1.3 Кут між прямими і площинами 527 11.1.4 Перпендикулярність у просторі 527 11.1.4.1 Означення 527 11.1.4.2 Теорема про три перпендикуляри: 528 11.1.4.3 Ознака перпендикулярності двох площин:..528 11.2 Многогранники 529 11.2.1 Види многогранників 529 11.2.2 Призми 530 11.2.2.1 Основні формули: 531 11.2.3 Приклад