Посібник відповідає навчальній програмі з вищої математики для економічних та інженерно-економічних спеціальностей. У ньому викладено основи теорії множин, елементи лінійної та векторної алгебр, аналітичну геометрію на площині та у просторі, основи математичного аналізу, зокрема, диференціальне числення функцій однієї та багатьох змінних, інтегральне числення, диференціальні рівняння, а також основи теорії рядів. Теоретичний матеріал подано в доступній для студентів формі. Особливу увагу приділено прикладній і практичній спрямованості курсу для фахової підготовки студентів економічних спеціальностей. Для студентів вищих навчальних закладів. Зміст Передмова...............................................................................................................................3 Частина 1. Лінійна і векторна алгебри. Аналітична геометрія Тема 1. Основи теорії множин.............................................................................................6 1.1. Множини.........................................................................................................................6 1.1.1. Поняття множини, підмножини.................................................................................6 1*. Поняття множини (6). 2*. Підмножини (9) 1.1.2. Операції над множинами та їхнє схематичне зображення.....................................12 1*Об єднання множин (12). 2*. Перетин множин (13). 3*. Різниця множин (15). 4*. Доповнення множин (16). 1.1.5. Розбиття множин на класи.........................................................................................17 1.2. Декартовий добуток множин...................................................................................... 19 1.2.1. Поняття про декартовий добуток..............................................................................21 1.2.2. Декартовий добуток двох множин на координатній площині...............................24 Питання і завдання для самоперевірки............................................................................. 24 Тема 2. елементи лінійної алгебри................................................................................... 26 2.1. Матриці...........................................................................................................................26 2.1.1. Основні відомості про матриці................................................................................ 26 1*. Матриця та її елементи (26). 2*. Різні види матриць'(27). 2.1.2. Операції над матрицями...........................................................................................30 1*. Множення матриці на число (30). 2*. Додавання матриць (30).................................36 3*. Множення матриць(31). 4*. Властивості операцій над матрицями (33). 5*. Транспонування матриць (35). 2.2. Скалярні характеристики матриць.............................................................................. 36 2.2.1. Визначники................................................................................................................ 36 1*. Поняття про визначник (36). 2*. Визначник першого та другого порядків (36). 3*. Визначник третього порядку (37). 4*. Мінори та алгебраїчні доповнення (38). 5*. Теорема Лапласа (40). 2.2.2. Властивості визначників........................................................................................... 41 1 . Властивість рівноправності рядків і стовпців (41). 2*. Властивість антисиметрії (41). 3*. Лінійні властивості визначників (41). 3*. Лінійні властивості визначників (41). 4* Властивість алгебраїчних доповнень сусідніх рядків (стовпців) (43). 5*. Властивість добутку визначників (44). 2.2.3. Ранг і слід матриці...................................................................................................... 44 1*. Поняття про ранг матриці (44). 2*. Елементарні перетворення матриць (46). 3*. Методи знаходження рангу матриць (46). 4*. Слід матриці (48). 2.3. Матричні рівняння. Системи лінійних рівнянь.......................................................... 49 2.3.1. Загальні властивості матричних рівнянь................................................................... 49 1*. Рівняння першого степеня з одним невідомим (49) 2* Лінійні матричні рівняння (49). 2.3.2. Обернена матриця...................................................................................................... 50 1*. Поняття оберненої матриці (50). 2*. Алгоритм знаходження оберненої матриці (52). 3*. Властивості оберненої матриці (53). 2.3.3. Основні поняття і визначення системи рівнянь..................................................... 53 1*. Система лінійних рівнянь (53). 2*. Типи систем рівнянь (54). 2.3.4. Метод оберненої матриці............................................................................................... 55 1*. Система п лінійних рівнянь з п змінними (55). 2*. Метод оберненої матриці (56). 3*. Системи двох лінійних рівнянь з двома невідомими (57). 4*. Алгоритм методу оберненої матриці (58). 2.3.5. Формули Крамера......................................................................................................... 59 1*. Теорема Крамера (59). 2*. Система двох лінійних рівнянь з двома невідомими (60). 3*. Дослідження системи п лінійних рівнянь з п невідомими (62). 4*. Комбінований метод (63). 2.3.6. Метод Жордана-Гаусса................................................................................................. 66 1*. Метод Гаусса (66). 2*. Метод Жордана-Гаусса (68). 3*. Знаходження оберненої матриці методом Жордана-Гаусса (71). 2.4. Використання матриць в економіці................................................................................ 72 1*. Матриці в економічних задачах (72). 2*. Лінійні перетворення матриць в економіці (76). 3*. Модель Леонтєва багатогалузевої економіки (балансовий аналіз) (79). Питання і завдання для самоперевірки....................................................................................83 Тема 3. Елементи векторної алгебри.......................................................................................90 3.1. Лінійний (векторний) простір........................................................................................... 90 3.1.1. Скалярні і векторні величини. Координатний простір............................................... 90 1*. Поняття скаляра (90). 2*. Приклади векторних величин (91). 3*. Координатний простір (92). 4*. Векторна алгебра (94). 3.1.2. Вектори в наочних просторах........................................................................................ 94 1*. Направлені відрізки (94). 2*. Операції з направленими відрізками (95). 3*. Поняття вільного вектора (96). 4*. Операції над геометричними векторами (97). 5*. Простір радіусів-векторів (98). 3.1.3. Лінійний векторний простір............................................................................................ 99 1*. Лінійні операції над векторами (99). 2*. Властивості операцій над векторами (100). 3*. Лінійний векторний простір (100). 4*. Приклади лінійних векторних просторів (101). 5*. Взаємозв'язок між різними представленнями вектора (103). 3.2. Розмірність векторного простору.................................................................................... 105 3.2.1. Лінійна залежність векторів........................................................................................... 105 1*. Геометричний зміст лінійної залежності векторів (105). 2*. Лінійна залежність векторів (107). 3*. Приклади лінійної залежності векторів (109). 3.2.2. Розмірність і базис векторного простору.................................................................... 110 1*. Розмірність векторного простору (110). 2*. Базис векторного простору (111). 3*. Базиси і координати вектора (112). 4*. Розклад вектора у базисі (113). 3.3. Евклідів векторний простір.............................................................................................. 115 3.3.1. Дійсний евклідів простір................................................................................................. 115 1*. Вступні зауваження (115). 2*. Означення евклідового простору (115). 3*. Довжина вектора і кут між векторами (117). 4*. Властивості кутів (117). 3.3.2. Скалярний добуток у різних представленнях вектора............................................... 118 1*. Наочний евклідів простір (118). 2*. Простір радіусів-векторів (118). 3*, n-вимірний евклідів простір (119). 3.3.3. Ортонормований базис евклідового простору............................................................ 120 3.3.4. Застосування скалярного добутку двох векторів........................................................ 122 1*. Використання скалярного добутку для визначення лінійної незалежності векторів (122). 2*. Зв'язок між проекцією вектора і скалярним добутком (123). 3.3.5. Векторний добуток двох векторів................................................................................. 123 1*. Орієнтація векторів (123). 2*. Означення векторного добутку (124). 3*. Властивості векторного добутку (124). 4*. Векторний добуток в координатній формі (125). 5*. Обчислення площ паралелограма і трикутника (127). 3.3.6 Добуток трьох векторів..................................................................................................... 128 1*. Мішаний добуток трьох векторів (128). 2*. Властивості мішаного добутку (130). 3*. Подвійний векторний добуток (131). Питання і завдання для самоперевірки............... 132 Тема 4. Пряма на площині.........................................................................................................136 4.1. Задачі, які приводять до рівняння прямої........................................................................ 136 4.1.1. Предмет аналітичної геометрії....................................................................................... 136 1*. Поняття про аналітичну геометрію (136). 2*. Декартові координати у просторі (137). 3*. Система координат на площині (138). 4*. Поняття лінії в аналітичній геометрії (139). 5*. Основні задачі аналітичної геометрії на площині (141). 4.1.2. Задачі економіки, які приводять до рівняння прямої.................................................. 145 4.2. Пряма у двовимірному евклідовому просторі.............................................................. 148 4.2.1. Векторні рівняння прямої............................................................................................. 148 1*. Загальні властивості координатної площини (148). 2*. Векторне рівняння першого типу (150). 3*. Векторно-параметричне рівняння (150). 4*. Параметричні рівняння прямої (151). 5*. Канонічне рівняння прямої (151). 6*. Рівняння прямої, яка проходить через дві задані точки (153). 7*. Векторне рівняння прямої другого типу (154). 8*. Векторне рівняння прямої третього типу (155). 9*. Рівняння прямої, яка визначена вектором нормалі (155). 4.2.2. Пряма як лінійна залежність між двома змінними............... 156 1*. Загальне рівняння прямої (156). 2*. Зведення рівнянь прямої до загального вигляду (157). 3*. Дослідження загального рівняння прямої (160). 4*.Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом (162). 5*. Рівняння прямої у відрізках на осях координат (163). 4.3. Взаємне розміщення двох прямих..................................................... 164 4.3.1. Сумісне дослідження рівнянь двох прямих............................. 164 1*. Дослідження системи рівнянь (164). 2*. Геометрична інтерпретація розв'язків (165). 3*. Рівняння в'язки прямих (166). 4.3.2. Кут між двома прямими............................................................. 168 1*. Кут між прямими (169). 2*. Паралельність і перпендикулярність прямих (171). 3*. Відстань від точки до прямої на площині (173). 4*. Нормальне рівняння прямої (173). 5*. Відстань між двома прямими (174). 4.3.3. Економічні приклади і задачі................................................... 175 1*. Задача про рівновагу попиту і пропозиції на товар (175). 2*. Лінійна функція в економіці (176). 3*. Канонічне рівняння прямої в економіці (178). Питання і завдання для самоперевірки.................................................. 178 Тема 5. Пряма і площина у просторі..........................................184 5.1. Площина у просторі............................................................................. 184 5.1.1. Основні поняття тривимірного простору.................................. 184 1*. Система координат у просторі (184). 2*. Поверхня та її загальне рівняння (185). 3*. Рівняння лінії у просторі (186). 5.1.2. Векторні рівняння площини...................................................... 186 1*. Алгоритм знаходження векторних рівнянь площини (186). 2*. Рівняння площини в системі координат (188). 5.1.3. Загальне рівняння площини та його дослідження................. 191 1*. Загальне рівняння площини (191). 2*. Дослідження загального рівняння площини (191). 3*. Рівняння площини у відрізках на осях координат (194). 5.1.4. Взаємне розміщення площин.................................................... 195 1*. Кут між двома площинами (195). 2*. Паралельність і перпендикулярність площин (196). 3*. Умова перетину трьох площин в одній точці (197). 4*. Відстань від точки до площини (198). 5.2. Пряма лінія у тривимірному просторі.............................................. 199 5.2.1. Рівняння прямої у просторі........................................................ 199 1*. Поняття прямої лінії у просторі (199). 2*. Векторне рівняння прямої (199). 3*. Векторно-параметричне рівняння прямої (200). 4*. Параметричні рівняння прямої (200). 5*. Канонічне рівняння прямої (201). 6*. Рівняння прямої, яка проходить через дві задані точки (202). 5.2.2. Взаємне розміщення прямих у просторі................................... 203 1*. Кут між двома прямими у просторі (203). 2*. Взаємне розміщення прямих у просторі (204). 3*. Умови співпадання прямих (204). 4*. Паралельність прямих (205). 5*. Перетин прямих (205). 6*. Мимобіжність прямих (206). 5.2.3. Загальні рівняння прямої. Рівняння в'язки площин............. 208 5.3. Пряма і площина у просторі............................................................... 209 5.3.1. Взаємне розміщення прямої і площини................................... 209 5.3.2. Кут між прямою і площиною..................................................... 211 Питання і завдання для самоперевірки.................................................. 214 Тема 6. Лінії другого порядку......................................................218 6.1. Поняття про криві другого порядку.................................................. 218 6.1.1. Перетворення системи координат............................................ 218 1*. Задача про розподіл ринку збуту (218). 2*. Перетворення системи координат (220). 3*. Паралельне перенесення осей координат (220). 4*. Поворот осей координат (221). 6.1.2. Конічні перерізи.......................................................................... 223 1*. Конічні перерізи (223). 2*. Загальне означення еліпса, гіперболи і параболи (224). 6.1.3. Загальне рівняння ліній другого порядку............................... 225 1*. Алгебраїчні рівняння (225). 2*. Запис загального рівняння ліній другого порядку (226). 3*. Етапи спрощення рівняння другого степеня (226). 4*. Перехід до канонічної форми (227). 5*. Перехід до канонічного рівняння (229). 6.2. Класифікація типів кривих другого порядку................................... 230 6.2.1. Центральні криві другого порядку........................................... 230 1*. Класи кривих другого порядку (230). 2*. Клас центральних кривих другого порядку (230). 3*. Коло. Канонічне рівняння кола (232). 6.2.2. Дослідження рівнянь еліпса і гіперболи.................................. 233 1*. Канонічні рівняння (233). 2*. Дослідження форми еліпса (236). 3*. Дослідження форми гіперболи. Асимптоти (237). 4*. Ексцентриситет, фокальні радіуси та директриси еліпса і гіперболи (238). 6.2.3. Інші рівняння гіперболи............................................................ 242 1*. Графік оберненої пропорційності (242). 2*. Графік дробово-раціональної функції (243). 6.2.4. Нецентральні криві другого порядку.............................. 244 1*. Клас нецентральних кривих другого порядку (244). 2*. Парабола як крива параболічного типу (245). 3*. Канонічне рівняння параболи (246). 4*. Дослідження форми параболи (247). 5*. Фокальні властивості параболи (248). 6*. Графік квадратного тричлена (249). Питання і завдання для самоперевірки.................................................. 250 Частина 2. Основи математичного аналізу Тема 7. Вступ до математичного аналізу..................................254 7.1. Число. Величина. Функція................................................................. 254 7.1.1. Абсолютна величина дійсного числа. Окіл точки................... 254 1*. Дійсні числа (254). 2*. Числова вісь (255). 3*. Числові проміжки (255). 4*. Абсолютна величина дійсного числа (256). 5*. Властивості модуля дійсного числа (257). 7.1.2. Постійні і змінні величини. Означення функції..................... 258 1*. Постійні і змінні величини (258). 2*. Функціональна залежність. Аргумент і функція (259). 3*. Область визначення та область значень функції (261). 7.1.3. Способи задания функції........................................................... 263 1*. Табличний спосіб (263). 2*. Аналітичний спосіб задания функції (задания формулою) (264). 3*. Графічний спосіб задания функції (268). 4*. Словесний та напівграфічний способи задания функції (268). 7.1.4. Основні характеристики поведінки функції............................ 270 1*. Нулі функції і знак функції на даному інтервалі (270). 2*. Парність або непарність функції (271). 3*. Періодичність функції (272). 4*. Монотонність функції (273). 5*. Обмежені функції (275). 7.2. Елементарні функції та їхні властивості.......................................... 275 7.2.1. Елементарні функції................................................................. 275 1*. Основні елементарні функції (275). 2*. Складна функція (276). 3*. Операції над елементарними функціями (276). 4*. Елементарні функції та їхня класифікація (277). 7.2.2. Приклади функцій, які використовуються в економіці......... 280 1*. Функція попиту (280). 2*. Функція пропозиції (281). 3*. Функція витрат (281). 7.3. Границя. Неперервність функцій...................................................... 282 7.3.1. Числові послідовності................................................................ 282 1*. Означення і приклади послідовностей (282). 2*. Способи задания послідовностей (283). 3*. Зростання і спадання послідовностей (283). 4*. Границя числової послідовності (284). 5*. Геометричний зміст числової послідовності (285). 6*. Знаходження границь послідовностей (285). 7*. Використання границь числових послідовностей (286). 7.3.2. Границя функції на нескінченності і в точці........................... 287 1*. Границя функції на нескінченності та її геометричний зміст (287). 2*. Границя функції в точці та її геометричний зміст (289). 3*. Односторонні границі (290). 7.3.3. Нескінченно малі величини...................................................... 290 1*. Поняття нескінченно малої величини (290). 2*. Зв'язок нескінченно малих величин і границь функцій (291). 3*. Властивості нескінченно малих величин (291). 4*. Порівняння нескінченно малих величин (292). 7.3.4. Нескінченно великі величини................................................... 294 1*. Поняття нескінченно великої величини (294). 2*. Властивості нескінченно великих величин (295). 3*. Порівняння нескінченно великих величин (295). 7.3.5. Основні теореми про границі. Важливі границі..................... 296 1*. Основні теореми про границі функцій (29