В сборнике подобраны задачи и примеры по математическому анализу применительно к максимальной программе общего курса высшей математики высших технических учебных заведений. Сборник содержит свыше 3000 задач, систематически расположенных в главах (I-X), и охватывает все разделы втузовского курса высшей математики (за исключением аналитической геометрии). Особое внимание обращено на важнейшие разделы курса, требующие прочных навыков (нахождение пределов, техника дифференцирования, построение графиков функций, техника интегрирования, приложения определенных интегралов, ряды, решение дифференциальных уравнений). Учитывая наличие в некоторых втузах дополнительных глав курса математики, авторы включили задачи на теорию поля, метод Фурье и приближенные вычисления. Приведенное количество задач, как показывает практика преподавания, не только с избытком удовлетворяет потребности студентов по практическому закреплению соответствующих разделов курса, но и дает возможность преподавателю разнообразить выбор задач в пределах данного раздела и подбирать задачи для итоговых заданий и контрольных работ. В основном задачник предназначен для студентов-заочников и студентов вечерних факультетов технических вузов машиностроительных специальностей, а также лиц, занимающихся самообразованием. В начале каждой главы дается краткое теоретическое введение и приводятся основные определения и формулы, относящиеся к соответствующему разделу курса. Здесь же показаны образцы решений особо важных типовых задач. Это обстоятельство, по нашему мнению, в значительной мере облегчит студенту-заочнику пользование задачником в самостоятельной работе. На все вычислительные задачи даны ответы; в задачах, Отмеченных звездочкой (*) или двумя звездочками (**), в ответах приведены соответственно краткие указания к решениям или. решения. Для наглядности часть задач, иллюстрируется чертежами. Из предисловия к первому изданию .......................................................... 7 Предисловие к четвертому изданию .................. 8 Предисловие к восьмому изданию ................... 8 Глава I. Введение в анализ ..................... 9 § 1. Понятие функции 9 § 2. Графики элементарных функций ................ 14 § 3. Пределы 20 § 4. Бесконечно малые и бесконечно большие 31 § 5. Непрерывность функций .................... 34 Глава II. Дифференцирование функций 40 § 1, Непосредственное вычисление производных 40 § 2. Табличное дифференцирование 44 § 3. Производные функций, не являющихся явно заданными ..... 53 § 4. Геометрические и механические приложения производной .... 57 § 5. Производные высших порядков ................. 63 § 6. Дифференциалы первого и высших порядков 67 § 7. Теоремы о среднем ....................... 71 § 8. Формула Тейлора 73 § 9. Правило Лопиталя - Бернулли раскрытия неопределенностей . . 74 Глава III. Экстремумы функции и геометрические приложения произ водной 79 § 1. Экстремумы функции одного аргумента ............. 79 § 2. Направление вогнутости. Точки перегиба ............ 87 § 3. Асимптоты 89 § 4. Построение графиков функций по характерным точкам ..... 91 § 5. Дифференциал дуги. Кривизна 97 Глава IV. Неопределенный интеграл 103 § 1. Непосредственное интегрирование . 103 § 2. Метод подстановки 109 § 3. Интегрирование по частям 112 § 4. Простейшие интегралы, содержащие квадратный трехчлен . . . 114 §5. Интегрирование рациональных функций ............ 117 § 6. Интегрирование некоторых иррациональных функций ...... 122 § 7. Интегрирование тригонометрических функций ......... 124 § 8. Интегрирование гиперболических функций ........... 129 § 9. Применение тригонометрических и гиперболических подстановок для нахождения интегралов вида где R-рациональная функция ............. 130 § 10. Интегрирование различных трансцендентных функций . . 132 § 11. Применение формул приведения ......... . . ... . 132 § 12. Интегрирование разных функций ............... 132 Глава V. Определенный интеграл .................. 135 § 1. Определенный интеграл как предел суммы ........... 135 § 2. Вычисление определенных интегралов с помощью неопределенных 137 § 3. Несобственные интегралы .140 § 4. Замена переменной в определенном интеграле . . . 143 § 5. Интегрирование по частям 145 § 6. Теорема о среднем значении . 147 § 7. Пдощади плоских фигур 149 § 8. Длина дуги кривой 155 § 9. Объемы тел 158 § 10. Площадь поверхности вращения 162 § 11. Моменты. Центры тяжести. Теоремы Гульдена 164 § 12. Приложения определенных интегралов к решению физических задач 169 Глава VI. Функции.нескольких переменных 176 § 1. Основные понятия 176 § 2. Непрерывность ............. . 180 § 3. Частные производные 181 § 4. Полный дифференциал функции 183 § 5. Дифференцирование сложных функций .' 186 § 6. Производная в данном направлении и градиент функции .... 190 § 7. Производные и дифференциалы высших порядков 193 § 8. Интегрирование полных дифференциалов 199 § 9. Дифференцирование неявных функций , 202 § 10. Замена переменных 208 § 11. Касательная плоскость и нормаль к поверхности 213 § 12. Формула Тейлбра для функции нескольких переменных .... 216 § 13. Экстремумы функции нескольких переменных . 219 § 14. Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений функций 223 § 15. Особые точки плоских кривых 226 § 16. Огибающая 228 § 17. Длина дуги пространственной кривой 230 § 18. Вектор-функции скалярного аргумента 231 § 19. Естественный трехгранник пространственной кривой 234 § 20. Кривизна и кручение пространственной кривой ........ 238 Глава VII. Кратные и криволинейные интегралы . . . . . . . . 241 § 1. Двойной интеграл в* прямоугольных координатах 241 § 2. Замена переменных в двойном интеграле . . . . 247 § 3. Площади фигур ........ - . 250 § 4. Объемы тел ................... 252 § 5. Площади поверхностей 254 § 6. Приложения двойных интегралов к механике , . . . . 255 § 7. Тройные интегралы 257 § 8. Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Несобствен ные кратные интегралы . 263 § 9. Криволинейные интегралы . . 267 § 10. Поверхностные интегралы 277 §11. Формула Остроградского - Гаусса 280 § 12. Элементы теории поля 281 Глава VIII. Ряды . . . 286 § 1. Числовые ряды 286 § 2. Функциональные ряды . 297 § 3. Ряд Тейлора . 304 § 4. Ряды Фурье 310 Глава IX. Дифференциальные уравнения . . . 315 § 1. Проверка решений. Составление дифференциальных уравнений семейств кривых. Начальные условия 315 § 2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка . . . 317 § 3. Дифференциальные уравнения 1-го порядка с разделяющимися переменными. Ортогональные траектории 319 § 4. Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка 323 § 5. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Уравнение Бернулли 325 § 6. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель 328 § 7. Дифференциальные уравнения 1-го порядка, не разрешенные от носительно производной 330 § 8. Уравнения Лагранжа и Клеро 332 § 9. Смешанные дифференциальные уравнения 1-го порядка 334 § 10. Дифференциальные уравнения высших порядков 338 § 11. Линейные дифференциальные уравнения 342 § 12. Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоян ными коэффициентами 344 § 13. Линейные дифференциальные - уравнения с постоянными коэффи циентами порядка выше 2-го 349, § 14. Уравнение Эйлера . 350 § 15. Системы дифференциальных уравнений . 351 § 16. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью степен- 1 ных рядов 353 § 17. Задачи на метод Фурье . 355 Глава X. Приближенные вычисления ... 359 § 1. Действия с приближенными числами .............. 359 § 2. Интерполирование функций .............. 364 § 3. Вычисление действительных корней уравнений . , , . , , , , 368 § 4. Численное интегрирование функций , , . . . . 374 § 5. Численное интегрирование обыкновенных дифференциальных урав нений .......; 377 § 6. Приближенное вычисление коэффициентов Фурье ........ 385 Ответы 388 Приложения ........... .................. . 467 І. Греческий алфавит ...... . ....... . 467 II. Некоторые постоянные ....... ......... .. . 467 III. Обратные величины, степени, корни, логарифмы .. 468 IV. Тригонометрические функции . 470 V. Показательные, гиперболические и тригонометрические функции 471 VI. Некоторые кривые ................. , 472