У запропонованому навчальному посібнику викладено метод ортогональних многочленів, проведено його строге математичне обґрунтування, введено основні означення, доведено основні теореми щодо швидкості збіжності методу. Основну увагу приділено застосуванню метода до розв'язання інтегральних рівнянь першого і другого роду з різними видами сингулярних частин - різницевими, ступеневими ядрами, тощо. Введено нові означення п-ядра та спектрального співвідношення. Особливе місце приділяється застосуванню метода редукції для розв'язання нескінченних систем лінійних алгебраїчних рівнянь, до яких, як відомо, приводить схема методу ортогональних многочленів. У посібнику наведено необхідний довідковий матеріал - таблиці основних спектральних співвідношень та таблиці інтегралів з поліномами Якобі. ЗМІСТ ВСТУП .....................................................................................5 § 1. ОРТОГОНАЛЬНІ СИСТЕМИ ФУНКЦІЙ.......................6 1.1. Основні визначення і властивості....................................6 1.2. Система ортогональних поліномів..................................9 1.3. Властивості ортогональних поліномів..........................10 § 2. КЛАСИЧНІ ОРТОГОНАЛЬНІ ПОЛІНОМИ...................13 2.1. Таблиця класичних ортогональних поліномів...............13 2.2. Зв'язок ортотогональних поліномів з гіпергеометричною функцією Гаусса....................................16 2.3. Таблиця ортогональності класичних поліномів.............17 § 3. СХЕМА МЕТОДУ ОРТОГОНАЛЬНИХ ПОЛІНОМІВ..19 3.1. Інтегральні рівняння 1-го роду з логарифмічним ядром............................................................................................19 3.2. Обґрунтування отриманого розв'язку.............................21 3.3. Інтегральне рівняння 1-го роду з різницевим ядром.....23 3.4. Інтегральне рівняння 2-го роду з логарифмічним ядром...........................................................................................25 § 4. ПОЛІНОМІАЛЬНІ ЯДРА. ТЕОРЕМА ПРО П-ЯДРА....27 4.1. Визначення поліноміального ядра та спектрального співвідношення..........................................................................27 4.2. Розв'язання інтегральних рівнянь з поліноміальними ядрами.........................................................................................29 4.3. Теорема про П-ядра ........................................................33 4.4. Побудова П-ядра на скінченому інтервалі....................38 4.5. Побудова П-ядра на півнескінченному інтервалі ........45 § 5. НЕСКІНЧЕННІ СИСТЕМИ ЛІНІЙНИХ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ (НСЛАР). МЕТОД РЕДУКЦІЇ 5.1. Метод редукції...................................................................47 5.2. Збіжність методу ортогональних поліномів...................49 § 6. ОБЧИСЛЕННЯ СПЕЦІАЛЬНИХ ІНТЕГРАЛІВ З КЛАСИЧНИМИ ПОЛІНОМАМИ........................................71 6.1. Інтеграли з різницевим ступеневим ядром...................72 6.2. Інтеграли з сумаційним ступеневим ядром ................76 6.3. Подвійні інтеграли з класичними поліномами ............77 6.4. Метод Гаусса обчислення подвійних інтегралів..........78 6.5. Інтеграли вигляду (b-x)(x-a) f (x)dx та їх застосування до обчислення кратних інтегралів...................80 § 7. СИНГУЛЯРНІ ІНТЕГРАЛЬНІ РІВНЯННЯ (СІР) З НЕРУХОМОЮ ОСОБЛИВІСТЮ .......................................84 7.1. Зведення СІР з нерухомою особливістю до нескінченної алгебраїчної системи 1 -го роду........................84 7.2. Визначення особливості розв'язку..................................86 7.3. Зведення СІР з нерухомою особливістю до нескінченної системи лінійних алгебраїчних рівнянь 2-го роду.................................................................................87 7.4. Метод колокацій.........................................................88 7.5. Квадратурні формули для рахування інтегралів з поліномами Якобі ..............................................................89 ДОДАТКИ Додаток А Задача теплопровідності для чверті площини з дефектом ..........................................................................91 Додаток Б Задача концентрації напружень біля скінченої циліндричної тріщини........................................................99 Додаток В Таблиці спектральних співвідношень та деяких інтегралів............................................................................104 ПІСЛЯМОВА ...................................................................113 ЛІТЕРАТУРА ....................................................................114