ПРЕДИСЛОВИЕ В предлагаемой книге излагаются решения ряда задач прикладной теории упругости и теории теплопроводности, связанных с приложением бесселевых (цилиндрических) функций. Для удобства читателя в начале книги даются в самой сжатой форме наиболее необходимые сведения из теории цилиндрических функций. Наличие ряда специальных монографий и богатая учебная литература по цилиндрическим функциям делают излишним более детальное изложение указанной теории в предлагаемой книге. В некоторых руководствах и, в частности, в книге Грэя и Мэть-юза "функции Бесселя и их приложения к физике и механике" и в книге Р. О. Кузьмина "Бесселевы функции" значительное место уделено приложениям бесселевых функций к решению отдельных задач математической физики. Следует особо остановиться на классической двухтомной монографии. А. Н. Динника "Приложения функций Бесселя к задачам теории упругости". Естественно, что автор стремился не повторять здесь того, что известно читателям этой прекрасной книги. ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие................................................................................................. 6 Введение. Начальные сведения из теории бесселевых функций...... 9 § 1. Дифференциальное уравнение Бесселя. Функция Бесселя............... 9 § 2. Цилиндрические функции второго рода ............................................ 12 § 3. Цилиндрические функции третьего рода............................................ 13 § 4. Бесселевы функции мнимого аргумента ........................................... 13 § 5. Функции Бесселя комплексного аргумента ..................................... 14 § 6. Формулы дифференцирования, рекуррентные формулы ................ 17 § 7. Функции Бесселя, индекс которых равен целому числу с по- ловиной .................................................................................................. 18 § 8. Определитель Вронского ..................................................................... 19 § 9. Интеграл Бесселя ................................................................................ 22 § 10. Теоремы сложения ............................................................................ 23 §11. Дифференциальные уравнения, которые можно привести к урав- нению Бесселя ............................................................................................ 25 § 12. Интеграл Пуассона ............................................................................. 27 § 13. Об асимптотических формулах ....................................................... 29 § 14. Несобственный интеграл Липшица................................................... 30 РАЗДЕЛ 1 ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ И ТЕОРИИ КОЛЕБАНИЙ Глава I. Круглые пластинки. Колебания и устойчивость ................ .31 § 1. Усилия, возникающие при изгибе круглой пластинки. Дифферен- циальное уравнение упругой поверхности. Граничные условия …….. … 32 § 2. Свободные колебания круглой пластинки ...................................... … 34 § 3. Некоторые простейшие задачи о вынужденных осесимметричных колебаниях пластинки............................................................................... … 38 § 4. Простейшие задачи об осесимметричных колебаниях пластинки, имеющей дополнительные опоры или присоединенные массы ………… 46 § 5. Неосесимметричные колебания круглой пластинки, имеющей опоры точечного типа или присоединенные массы...............................…. 49 § 6 Вынужденные колебания средних полей безбалочных перекрытий ............................................................................................ 54 § 7. Метод начальных параметров в задачах динамики круглых пластинок ................................................................................................. 59 § 8. Метод начальных параметров в задаче о колебаниях круглых пластинок с учетом затухания............................................................... 66 § 9. Колебания круглой пластинки, сжатой радиальным давлением …… .70 § 10. Устойчивость круглой пластинки, сжатой радиальным давлением …………………………………………………………….. 72 Глава II. Осесимметричная деформация круглых пластинок, лежащих на упругом основании....................................................... 79 § 1. Основные зависимости ........................................................................ 80 § 2. Основное решение ................................................................................ 83 § 3. Расчет круглой пластинки ................................................................... 91 § 4. Метод начальных параметров................................................................ 95 § 5. Изгиб круглой пластинки, лежащей на упругом основании и растянутой (сжатой) радиальными силами, действующими в срединной плоскости................................................................................................. 104 § 6. Расчет неограниченной железобетонной плиты с учетом пластических деформаций в радиальной арматуре ..................................................... 114 § 7. Расчет неограниченной железобетонной плиты с учетом пластических деформаций в радиальной и кольцевой арматуре............................... 116 Глава III. Неосесимметричная деформация круглой пластинки иа упругом основании................................................................................ 12З § 1. Основные зависимости ....................................................................... 123 § 2. Интегрирование дифференциального уравнения упругой поверхности ........................................................................................... 124 § 3. Построение основного решения ........................................................ 127 § 4. Метод начальных параметров при неосесимметричной деформации круглых пластинок ............................................................................. 131 § 5. Метод компенсирующих нагрузок....................................................... 136 § 6. Примеры расчета круглых пластинок .............................................. 142 § 7. Расчет пластинки бесконечного радиуса с круговой вставкой ....... 147 § 8. Круглая пластинка, загруженная внецентренной сосредоточенной силой или нагрузкой, распределенной по площади круга ................. 150 § 9. Расчет днища вертикального цилиндрического резервуара, подвергающегося действию горизонтального импульса......................... 155 Глава IV. Некоторые задачи о расчете оболочек вращения............. 158 §1.0 расчете пологой сферической оболочки ........................................... 158 § 2. Расчет круговой конической оболочки на действие осесимметрич- ных нагрузок и неравномерного нагревания....................................... 161 Глава V. Стержни......................................................................................... 176 § 1. Кручение стержней, лежащих на упругом основании.........................177 § 2. Устойчивость и продольно-поперечный изгиб прямолинейного стержня ; устойчивость плоской формы изгиба полосы......................... 184 § 3. Поперечные колебания стержней переменного сечения ................. 208 § 4. Стержни, соединенные друг с другом податливыми связями ………216 Глава VI. Колебания системы с одной степенью свободы .................. 226 § 1. Колебания в системе, не имеющей затухания при угловой скорости, изменяющейся по линейному закону .................................................. 227 § 2. Учет затухания........................................................................................ 231 § 3. Изменение амплитуды возмущающей силы по степенному закону 234 § 4. Пусковой резонанс при непостоянном угловом ускорении...............244 § 5. Колебания системы с одной степенью свободы при переменной массе или переменном квазиупругом коэффициенте..................................... 247 Глава VII. Применение метода компенсирующих нагрузок для решения задач теории пластинок и мембран, ограниченных некруговым контуром...........................................................................252 § 1. Колебания мембраны. Равновесие мембраны, лежащей на сплошном упругом основании ............................................................................... 253 § 2. Равновесие и устойчивость пластинки, равномерно сжатой силами, действующими в срединной плоскости....................................................... 262 § 3. Равновесие пластинки на упругом основании .................................. 271 5 4. Колебания пластинки............................................................................. 278 Глава VIII. Пластинки, стержни и штампы на упругом основании .. 282 §1.0 зависимости между нагрузками и перемещениями основания……. 283 § 2. Изгиб неограниченной пластинки и балки бесконечной длины ……287 § 3. Приближенные способы вычисления интегралов от основного решения ...................................................................................................304 § 4. Изгиб и кручение стержня неограниченной длины, лежащего на сплошном упругом основании .............................................................. 309 § 5. О расчете балок и пластинок конечных размеров, лежащих на линейно-деформируемом упругом основании......................................320 § 6. Движение нагрузки по неограниченной пластинке или балке, лежащей на сплошном однородном упругом основании..................................... 333 § 7. Штамп, лежащий на упругом полупространстве, модуль упругости которого является степенной функцией глубины.................................343 РАЗДЕЛ II ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ Глава IX. Стационарные температурные поля ..................................... 348 § 1. Стержни переменного сечения .......................................................... 348 § 2. Неограниченная и круглая пластинка ................................................ 353 § 3. Полубесконечная пластинка; замечания о расчете некруговых пластинок................................................................................................ 361 § 4. Неограниченная пластинка и неограниченный стержень, лежащие на сплошном однородном основании......................................................... 363 § 5. Некоторые простейшие задачи о температурных полях в оболочках вращения................................................................................................... 374 Глава X. Тепловые волны. Движение источника тепла по неограниченной пластинке .................................................................................. 377 § 1. Плоские тепловые волны в полупространстве и слое ; тепловые волны в стержне ............................................................................................ 378 § 2. Плоская задача теории тепловых волн в полярных координатах …..389 § 3. Более сложные плоские задачи теории тепловых волн ....................404 § 4. Контактные задачи. Тонкая пластинка, лежащая на сплошном основании............................................................................................... 407 § 5. Движение источника тепла по неограниченной пластинке................409 Литература .................................................................................................... 417 Приложение 1. О таблицах бесселевых функций .................................. 423 Приложение 2. Таблицы функций …………............................................ 429