У посібнику розглянуто питання з таких розділів вищої математики, як векторна алгебра та аналітична геометрія; диференціальне й інтегральне числення; функції багатьох змінних; диференціальні рівняння; ряди; кратні, криволінійні та поверхневі інтеграли. Теоретичний матеріал відповідає навчальній програмі з курсу вищої математики і супроводжується достатньою кількість прикладів і задач. Особливу увагу приділено прикладній і практичній спрямованості курсу. Для студентів технічних і технологічних спеціальностей вищих навчальних закладів. Зміст Вступ……………………………………………………………………………3 Глава 1. Елементи лінійної алгебри..................................................................6 §1. Визначники ……………………………………………………….……..6 1.1. Визначники другого і третього порядків та їхні властивості................6 1.2. Розклад визначника за елементами рядка або стовпця........................... 9 1.3. Поняття про визначники вищих порядків............................................10 Завдання для самоконтролю............................................................................12 § 2. Матриці.............................................................................................13 2.1. Основні означення.....................................................................................13 2.2. Дії над матрицями................................................................................14 2.3. Обернена матриця ……………………………………………………….16 2.4. Ранг матриці……………………………………………………………..18 Завдання для самоконтролю........................................................................19 § 3. Системи лінійних рівнянь........................................................................20 3.1. Основні означення ..................................................................................20 3.2. Розв'язування систем лінійних рівнянь за формулами Крамера……….21 3.3. Матричний запис системи лінійних рівнянь і її розв'язування..............24 3.4. Розв'язування систем лінійних рівнянь методом Гаусса………………..25 3.5. Однорідна система лінійних рівнянь.....................................................28 3.6. Критерій сумісності системи лінійних рівнянь.....................................30 Завдання дія самоконтролю……………………………………………………31 Глава 2. Елементи векторної Алгебри…………………………………………32 § 1. Вектори і лінійні дії з ними......................................................................32 1.1. Скалярні і векторні величини................................................................32 1.2. Лінійні дії з векторами..........................................................................33 1.3. Розклад вектора за базисом...................................................................35 1.4. Проекція вектора на вісь………………………………………………….37 Завдання для самоконтролю…………………………………………………..39 § 2. Системи координат..................................................................................40 2.1. Декартова система координат....................................................................40 2.2. Прямокутна система координат………………………………………….41 2.3. Полярна система координат.......................................................................43 2.4. Перетворення прямокутних координат на площині……………………44 2.5. Циліндрична та сферична системи координат.........................................45 2.6. Поняття про я-вимірний простір...............................................................46 2.7. Лінійна залежність векторів…………………………………….……….47 Завдання для самоконтролю ………………………………………….…….. 49 § 3. Вектори в системі координат.................................................................59 3.1. Координати, довжина і напрямні косинуси вектора......................50 3.2. Лінійні дії з векторами. Рівність і колінеарність векторів.....................51 3.3. Поділ відрізка в даному відношенні. Координати центра мас...............52 Завдання для самоконтролю………………………………………………….53 § 4. Скалярний добуток двох векторів......................................................54 4.1. Означення, геометричний та механічний зміст скалярного добутку….54 4.2. Властивості скалярного добутку…………………………………………55 4.3. Вираз скалярного добутку через координати. Кут між векторами........56 Завдання для самоконтролю..............................................................................58 § 5. Векторний добуток двох векторів..........................................................58 5.1. Означення і властивості векторного добутку………………………….58 5.2. Векторний добуток двох векторів, заданих координатами....................60 Завдання для самоконтролю..............................................................................62 § 6. Мішаний добуток векторів…………………………………………….62 6.1. Означення і обчислення мішаного добутку.............................................62 6.2. Властивості мішаного добутку..................................................................63 Завдання для самоконтролю..............................................................................65 Глава 3. Елементи аналітичної геометрії ……………………………………66 § 1. Лінії на площині та їхні рівняння……………………………………..66 1.1. Поняття про лінію та її рівняння………………………………………...66 1.2. Знаходження рівняння лінії за її геометричними властивостями…….67 1.3. Полярні рівняння лінії…………………………………………………68 1.4. Параметричні рівняння лінії......................................................................68 1.5. Векторне рівняння лінії…………………………………………………..70 1.6. Про залежність рівняння лінії від вибору системи координат…………71 Завдання для самоконтролю…………………………………………………71 § 2. Поверхні і лінії в просторі. їхні рівняння...............................................73 2.1. Поверхня та її рівняння................................................................................73 2.2. Рівняння лінії в просторі..............................................................................74 Завдання для самоконтролю……………………………………………………75 § 3. Пряма на площині.....................................................................................76 3.1. Різні види рівнянь прямої на площині……………………………………76 3.2. Загальне рівняння прямої та його дослідження.........................................78 3.3. Кут між двома,прямими. Умови паралельності і перпендикулярності двох прямих …………………………………………………………………….80 3.4. Відстань від точки до прямої …………………………………………….82 Завдання для самоконтролю...............................................................................83 § 4. Площина в просторі..................................................................................84 4.1. Загальне рівняння площини та його дослідження....................................84 4.2. Рівняння площини, що проходить через три точки. Рівняння площини у відрізках на осях...............................................................................................86 4.3. Кут між двома площинами. Умови паралельності і перпендикулярності двох площин.........................................................................................................87 4.4. Відстань від точки до площини ………………………………………..88 Завдання для самоконтролю …………………………………………………88 § 5. Пряма лінія в просторі ………………………………………………...89 5.1. Різні види рівнянь прямої в просторі.......................................................89 5.2. Кут між двома прямими. Умови паралельності і перпендикулярності прямих................................................................................................................ 91 5.3. Кут між прямою і площиною. Умови паралельності і перпендикулярності прямої і площини ……………………………………..92 Завдання для самоконтролю…………………………………………………96 § 6. Лінії другого порядку.............................................................................97 6.1. Поняття лінії другого порядку………………………………………….97 6.2. Коло……………………………………………………………………….98 6.3. Еліпс………………………………………………………….…………..100 6.4. Гіпербола………………………………………........................................104 6.5. Парабола…………………………………………………………………108 6.6. Полярні та параметричні рівняння кривих другого порядку…………110 Завдання для самоконтролю…………………………………………………..113 § 7. Поверхні другого порядку…………………………..……………….114 7.1. Поняття поверхні другого порядку.........................................................114 7.2. Циліндричні поверхні…………………………………………….………114 7.3. Поверхні обертання……………………………………………………….116 7.4. Конічні поверхні.........................................................................................117 7.5. Сфера………………………………………………………………………119 7.6. Еліпсоїд......................................................................................................119 7.7. Однопорожнинний гіперболоїд……………………….………………..121 7.8. Двопорожнинний гіперболоїд…………………………………………121 7.9. Еліптичний параболоїд ………………………………………….……..123 7.10. Гіперболічний параболоїд……………………………………………...123 7.11. Лінійчаті поверхні ……………………………………………………..123 Завдання для самоконтролю.............................................................................125 Глава 4. Вступ до математичного аналізу.........................................................126 § 1. Дійсні числа..............................................................................................126 1.1. Множини. Логічні символи………………………………………………126 1.2. Множина дійсних чисел..........................................................................127 1.3. Числові проміжки. Окіл точки ……………………………………….128 Завдання для самоконтролю…………………………………………………..130 § 2. Функція......................................................................................................131 2.1. Сталі і змінні величини...............................................................................132 2.2. Поняття функції...........................................................................................132 2.3. Способи задання функцій………………………………………………...133 2.4. Класифікація елементарних функцій …………………………………..138 2.5. Обмежені функції…………………………………………………………142 2.6. Монотонні функції......................................................................................143 2.7. Парні і непарні функції…………………...................................................143 2.8. Періодичні функції......................................................................................144 2.9. Неявно задані функції.................................................................................145 2.10. Обернені функції...................................................................................145 2.11. Параметрично задані функції...............................................................147 Завдання для самоконтролю..........................................................................148 § 3. Границя функції...................................................................................149 3.1. Числова послідовність...........................................................................149 3.2. Границя числової послідовності. Границя змінної величини. Єдиність границі ............................. ………………………………………….………150 3.3. Нескінченно великі змінні величини.....................................................153 3.4. Границя функції в точці………………………………………………155 3.5. Границя функції при х??. Нескінченно велика функція …………...158 3.6. Нескінченно малі величини. їхні властивості……………………..…162 3.7. Основні теореми про границі…………………………………………..164 Завдання для самоконтролю ………………………………………………..168 § 4. Обчислення границь функцій...........................................................169 4.1. Перша важлива границя………………………………………………..169 4.2. Число е. Натуральні логарифми……………………………………….170 4.3. Друга важлива границя…………………………………………………173 4.4. Порівняння нескінченно малих функцій. Еквівалентні нескінченно малі функції...............................................................................................................175 4.5. Розкриття деяких невизначеностей………...........................................179 Завдання для самоконтролю…………………………………………………183 5. Неперервність функції ………………………………………………..183 5.1. Неперервність функції в точці. Точки розриву.....................................184 5.2. Дії над неперервними функціями. Неперервність елементарних функцій……………………………………………………………………….188 5.3. Властивості функцій, неперервних на відрізку................................189 Завдання для самоконтролю.......................................................................190 Глава 5. Диференціальне числення функцій однієї змінної………………191 § 1. Похідна...................................................................................................191 1.1. Задачі, які приводять до поняття похідної…………………………….191 1.2. Означення похідної. Механічний, фізичний та геометричний зміст похідної…………………..………………..………………………………….196 1.3. Графічне диференціювання....................................................................200 1.4. Односторонні похідні. Неперервність і диференційованість……….201 Завдання для самоконтролю.......................................................................203 § 2. Диференціювання функцій……………………………....................204 2.1. Правила диференціювання суми, різниці, добутку і частки…………..204 2.2. Похідні сталої, добутку сталої на функцію, степеневої, тригонометричних, показникової і логарифмічної функцій ………………………….…….205 2.3. Похідна складеної функції ……………………………………………207 2.4. Гіперболічні функції та їхні похідні................................................ 209 2.5. Похідна оберненої функції. Диференціювання обернених тригонометричних функцій.............................................................................211 2.6. Похідна функції, заданої параметрично…………………….…………..214 2.7. Диференціювання неявно заданої функції………………………………215 2.8. Логарифмічне диференціювання. Похідна показниково-степеневої функції..............................................................................................215 2.9. Таблиця похідних......................................................................................216 Завдання для самоконтролю.............................................................................217 § 3. Диференціал.............................................................................................218 3.1. Означення, геометричний та механічний зміст диференціала...............218 3.2. Властивості диференціала. Інваріантність форми диференціала……...220 3.3. Застосування диференціала в наближених обчисленнях........................221 Завдання для самоконтролю..............................................................................222 § 4. Похідні та диференціали вищих порядків.............................................223 4.1. Похідні вищих порядків явно заданої функції ………………………..223 4.2. Похідні вищих порядків неявно заданої функції ………………………224 4.3. Похідні вищих порядків параметрично заданої функції.........................225 4.4. Диференціали вищих порядків………………………...........................226 Завдання для самоконтролю..............................................................................227 § 5. Деякі теореми диференціального числення……………......................228 5.1. Теореми Ферма і Ролля ……...............................................................228 5.2. Теореми Коші і Лангранжа …………………………………...................230 5.3. Правило Лопіталя..................................................................................... 233 5.4. Формула Тейлора.....................................................................................238 Завдання для самоконтролю..............................................................................245 § 6. Застосування диференціального числення для дослідження функцій………………………………………………………………………….246 6.1. Монотонність функції.................................................................................246 6.2. Локальний екстремум функції................................................................. 248 6.3. Найбільше і найменше значення функції……………………………...253 6.4. Опуклість і вгнутість кривих. Точки перегину………………………...260 6.5. Асимптоти кривої ………………………………………………………263 6.6. Схема дослідження функції та побудова її графіка.................................265 Завдання для самоконтролю..........................................................................266 § 7. Застосування диференціального числення до деяких задач алгебри, геометрії, теорії наближень …………………………………………………268 7.1. Наближене розв'язування рівнянь……………………………………….268 7.2. Інтерполяція функцій. Чисельне диференціювання…………………..271 7.3. Диференціал довжини дуги…………………………………………….273 7.4. Кривина плоскої лінії ……………………………………………………274 7.5. Вектор-функція скалярного аргументу. Дотична пряма і нормальна площина до кривої в просторі. Застосування у механіці…………………….278 Завдання для самоконтролю.............................................................................283 Глава в. Диференціальне числення функцій багатьох змінних.....................284 § 1. Функція, її границя та неперервність …………………………………284 1.1. Функція багатьох змінних. Означення та символіка …………………284 1.2. Границя функції багатьох змінних ……………………………………..289 1.3. Неперервність функції багатьох змінних………………………………291 Завдання для самоконтролю …………………………………………………293 § 2. Похідні та диференціали функції багатьох змінних..........................294 2.1. Частинні похідні ……………………………………………………..294 2.2. Диференційовність функції ………………………..............................297 2.3. Повний диференціал функції та його застосування до обчислення функцій і похибок. Диференціали вищих порядків.......................................300 2.4. Похідна складеної функції. Повна похідна. Інваріантність форми повного диференціала …………………………………………………………….304 2.5. Диференціювання неявної функції……………………………………307 Завдання для самоконтролю...........................................................................309 § 3. Деякі застосування частинних похідних…………………………310 3.1. Дотична площина та нормаль до поверхні. Геометричний зміст диференціала функції двох змінних…………………………………………………..310 3.2. Скалярне поле. Похідна за напрямом. Градієнт................................... 313 3.3. Формула Тейлора для функції двох змінних ………………………318 3.4. Локальні екстремуми функції двох змінних..................................320 3.5. Найбільше та найменше значення функції.............................................324 3.6. Умовний екстремум……………………………………………………327 Завдання для самоконтролю…………………………………………………329 Г л а в а 7. Інтегральне числення функцій однієї змінної..............................330 § 1. Невизначений інтеграл…………………………………………………321 1.1. Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла………………331 1.2. Таблиця основних інтегралів ……………………………………….334 1.3. Основні методи інтегрування ………..............................................336 1.4. Поняття про комплексні числа ……………………………………..342 1.5. Деякі відомості ' про раціональні функції ………………...............347 1.6. Інтегрування раціональних функцій...................................................352 1.7. Інтегрування деяких ірраціональних і трансцендентних функцій….355 1.8. Інтеграли, що "не беруться"………………………………………