Підручник написано в результаті викладання курсу "Теорія пружності" протягом майже сорока років для студентів механіко-машинобудівного факультету спеціальності "Динаміка і міцність машин". Підручник має на меті подати курс з висвітленням фізичного змісту на основі сучасного математичного апарата. Викладання теоретичного матеріалу подано послідовно, щоб допомогти студентам засвоїти і оволодіти математичними методами. Підручник містить велику кількість задач з інженерним нахилом для активного оволодіння курсом, до більшості задач наведені розв'язки. Підручник буде корисним для студентів вищих навчальних закладів III-IV рівнів акредитації для всіх спеціальностей, які повинні володіти методами розрахунку конструкцій і конструктивних елементів на міцність. Зміст 0.1 Скаляри....................................................................... 3 0.2 Вектори....................................................................... 3 0.3 Тензори в евклідовому просторі.............................. 8 0.4 Власні числа і власні вектори тензора...................... 14 0.5 Розклад лінійного оператора..................................... 15 0.6 Основні поняття тензорного аналізу .................... 16 0.7 Варіаційні принципи механіки................................. 22 1 Теорія напруженого стану 29 1.1 Напруження і їх визначення на довільних площинках......................................................... 29 1.2 Перетворення компонент тензора напружень....... 37 1.3 Головні напруження і головні площинки.............. 40 1.4 Максимальні нормальні напруження..................... 49 1.5 Максимальні дотичні напруження ..................... 51 1.6 Диференціальні рівняння рівноваги, симетричність тензора напружень ................................ 53 1.7 Кульовий тензор, девіатор напружень .............. 61 1.8 Круги напружень...................................................... 65 1.9 Плоский напружений стан...................................... 72 2 Аналіз деформованого стану 77 2.1 Переміщення і деформація тіла . . ......................... 77 2.2 Тензори деформацій і тензори скінченних деформацій...................................................... 79 2.3 Перетворення компонент тензора деформацій при повороті системи координат...................................... 83 2.4 Визначення відносного видовження та зміни кутів ................................................................. 84 2.5 Головні напрямки і головні деформації............... 87 2.6 Об'ємна відносна деформація................................ 89 2.7 Малі деформації .................................................. 90 2.8 Градієнт вектора переміщень; тензор деформацій і тензор обертання........................... 91 2.9 Визначення переміщень......................................... 93 2.10 Рівняння сумісності деформацій........................... 94 2.11 Задачі.......................................................................... 97 З Термодинамічні основи та рівняння теорії пружності 141 3.1 Основні положення термодинаміки.........................141 3.2 Закон збереження енергії деформованого тіла......143 3.3 Баланс ентропії..........................................................145 3.4 Закон теплопровідності Фур'є..............................147 3.5 Перша форма визначальних рівнянь....................147 3.6 Друга форма визначальних рівнянь .................150 3.7 Рівняння теплопереносу ....................................153 3.8 Рівняння термопружності .................................154 3.9 Рівняння класичної теорії пружності...................155 3.10 Матеріальні константи пружного тіла.................156 3.11 Задача статичної теорії пружності ізотропного тіла................................................................161 3.12 Рівняння теорії пружності в переміщеннях (рівняння Нав'є)..................................162 3.13 Рівняння теорії пружності в напруженнях (рівняння Бельтрамі-Мітчела).....................................165 3.14 Теорема про мінімум потенціальної енергії (теорема Лагранжа) .......................................166 3.15 Теорема про мінімум доповняльних робіт (теорема Кастільяно)............................................170 3.16 Варіаційна теорема Рейснера ..........................174 3.17 Однозначність розв'язку задачі теорії пружності . . .175 3.18 Теорема взаємності робіт......................................177 3.19 Теорема Клапейрона.............................................178 3.20 Загальні розв'язки задачі теорії пружності..........179 3.20.1 Розв'язок Папковича - Нейбера........................179 3.20.2 Розв'язок Бусінеска - Гальоркіна......................181 3.21 Задачі......................................................................183 3.22 Найпростіші задачі теорії пружності.................186 4 Рівняння теорії пружності в криволінійних координатах 207 4.1 Криволінійні координати і косокутний базис.........................................................207 4.1.1 Локальний базис, контраваріантні і коваріантні компоненти..............................................207 4.1.2 Метричний тензор і вимірювання довжини .............................................209 4.1.3 Коваріантні і контраваріантні компоненти тензора.......................................................211 4.1.4 Вимірювання площі і об'єму............................212 4.2 Диференціювання базисних векторів................214 4.2.1 Коваріантна похідна ......................................214 4.2.2 Фізичні компоненти тензора...........................217 4.3 Рівняння в ортогональних системах координат .....................................................................218 4.3.1 Циліндрична система координат ...............218 4.3.2 Сферична система...........................................226 4.3.3 Інші ортогональні системи.............................229 Література 236