У навчальному посібнику висвітлені основні відомості з таких розділів вищої математики, як лінійна алгебра, аналітична геометрія, диференціальне числення, інтегральне числення, диференціальні рівняння, ряди. За змістом наведені матеріали відповідають програмі нормативного курсу з вищої математики для студентів економічних спеціальностей. Виклад теоретичного матеріалу супроводжується великою кількістю задач та прикладів, розв'язками і поясненнями, тестами і завданнями для самостійної роботи. Там, де можливо, розкривається економічний зміст математичних понять, показано використання інструментарію вищої математики в економіці, наводяться загальні алгоритми розв'язання типових задач. Для студентів економічних спеціальностей вищих навчальних закладів, викладачів, економістів-практиків, осіб, які вивчають вищу математику самостійно. ЗМІСТ Передмова 15 ЧАСТИНА 1 17 Розділ 1. ЛІНІЙНА АЛГЕБРА 18 Тема 1. Визначники та їх властивості 18 1.1. Поняття "визначник". Визначник 2-го, 3-го порядку. Інверсія та визначник n-го порядку 18 1.2. Мінор та алгебраїчне доповнення визначника 25 1.3. Властивості визначника 28 1.4. Обчислення визначника різними способами 34 Питання для самоконтролю 38 Тести 38 Завдання для самостійного розв'язання 40 Відповіді 43 Тема 2. Матриці та дії з ними 44 2.1. Поняття матриці. Основні означення 44 2.2. Операції з матрицями 47 2.3. Ранг матриці та способи його знаходження 57 З Зміст Питання для самоконтролю 61 Тести 62 Завдання для самостійного розв'язання 63 Відповіді 66 Тема 3. Система т лінійних рівнянь з п невідомими 68 3.1. Основні поняття та означення 68 3.2. Дослідження сумісності лінійної системи за допомогою теореми Кронекера - Капелі 69 3.3. Матричне розв'язання систем лінійних рівнянь 72 3.4. Розв'язання лінійних систем за допомогою визначників (методом Крамера) 74 Питання для самоконтролю 77 Тести 77 Завдання для самостійного розв'язання 78 Відповіді 79 Тема 4. Розв'язання довільної системи лінійних рівнянь 80 4.1. Довільна система лінійних рівнянь. Загальний та частинний розв'язок довільної неоднорідної системи 80 4.2. Розв'язання довільної системи лінійних рівнянь методом Гаусса 85 4.3. Метод Жордана - Гаусса 90 4.4. Система лінійних однорідних рівнянь 95 Питання для самоконтролю 98 Тести 98 Завдання для самостійного розв'язання 99 Відповіді 101 Тема 5. Системи векторів та n-вимірний арифметичний простір 102 5:1. Арифметичні вектори (точки) простору. Операції з ними 102 5.2. Скалярний добуток двох "n-вимірних векторів. Кут між векторами 104 5.3. Лінійна комбінація n-вимірних векторів. Лінійно залежна та лінійно незалежна система векторів 105 5.4. Розкладання вектора за векторами базису. Ортонормований базис 107 4 Зміст 5.5. Перехід до нового базису 109 5.6. Лінійний оператор. Матриця лінійного оператора 112 5.7. Операції з операторами. Обернене перетворення 113 Питання для самоконтролю 114 Тести 115 Завдання для самостійного розв'язання 116 Відповіді 118 Розділ 2. АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ 119 Тема 6. Вектори та дії з ними 119 6.1. Загальні поняття та означення 119 6.2. Операції з векторами 123 6.3. Скалярний добуток двох векторів. Кут між векторами. Умови паралельності та перпендикулярності 124 6.4. Проекція вектора на вісь. Розкладання за осями 125 6.5. Способи задавання векторів 126 6.6. Ділення відрізка в заданому співвідношенні 128 Питання для самоконтролю 129 Тести 129 Тема 7. Пряма у просторі R2 131 7.1. Рівняння лінії на площині 131 7.2. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом 133 7.3. Рівняння прямої, яка проходить через дану точку вданому напрямку. Рівняння пучка прямих 136 7.4. Рівняння прямої, яка проходить через дві задані точки. Рівняння прямої у відрізках 137 7.5. Загальне рівняння прямої та його дослідження 140 7.6. Кут між двома прямими 141 7.7. Умова паралельності та перпендикулярності прямих. Відстань від точки до прямої 142 7.8. Перетворення координат 144 Питання для самоконтролю 145 Тести 146 Завдання для самостійного розв'язання 147 Відповіді 148 Тема 8. Поняття про лінії 2-го порядку 149 8.1. Загальне рівняння лінії 2-го порядку 149 5 Зміст 8.2. Рівняння кола. Знаходження центра та радіуса кола за загальним рівнянням 149 8.3. Еліпс, його рівняння та характеристична властивість .. 151 8.4. Гіпербола, її рівняння. Асимптоти гіперболи 154 8.5. Парабола, її рівняння та характеристична властивість 157 Питання для самоконтролю 160 Тести 161 Завдання для самостійного розв'язання 163 Відповіді 165 Тема 9. Геометрія простору R3. 167 9.1. Поняття рівняння поверхні 167 9.2. Рівняння сфери та інші поверхні 2-го порядку 168 9.3. Рівняння площини, яка проходить через точку перпендикулярно вектору 171 9.4. Загальне рівняння площини та його дослідження 172 9.5. Рівняння прямої у просторі R3 174 9.6. Взаємне розміщення площини та прямої 176 9.7. Кут між прямою і площиною . 178 Питання для самоконтролю 179 Тести 180 Завдання для самостійного розв'язання 181 Відповіді 184 Розділ 3. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЇ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ 185 Тема 10. Числові послідовності. Нескінченно малі та нескінченно великі величини 185 10.1. Означення числової послідовності. Обмежені та необмежені послідовності 185 10.2. Границя числової послідовності, її геометричний зміст. 186 10.3. Арифметичні операції над послідовностями та їх границями 188 10.4. Нескінченно малі, нескінченно великі та їх властивості 189 6 Зміст 10.5. Зв'язок між нескінченно малими та нескінченно великими. Зв'язок нескінченно малих з границею послідовності 192 10.6. Теореми про одиничність границі та обмеженість збіжної послідовності 193 10.7. Граничний перехід у нерівностях, монотонні послідовності 194 10.8. Числові послідовності та розв'язання задач економічного змісту 196 Питання для самоконтролю 199 Тести 200 Завдання для самостійного розв'язання 201 Відповіді 204 Тема 11. Границя функції 205 11.1. Поняття функції однієї незалежної змінної, ???приклади використання функції в економіці 205 11.2. Границі функції. Односторонні границі 208 11.3. Арифметичні властивості границі 211 11.4. Перша та друга визначні границі 212 11.5. Розкриття невизначеностей виду (??, (0), (1), (? - ?) 214 ??? (0) 11.6. Перша визначна границя та неперервне нарахування відсотків 216 Питання для самоконтролю 218 Тести 218 Завдання для самостійного розв'язання 219 Відповіді 221 Тема 12. Неперервність функції 222 12.1. Неперервність функції у точці 222 12.2. Властивості функцій, неперервних у точці 225 12.3. Точки розриву функції та їх класифікація 226 12.4. Властивості функцій, неперервних на відрізку 229 12.5. Неперервність основних елементарних функцій 231 Питання для самоконтролю 233 7 Зміст Тести 234 Завдання для самостійного розв'язання 235 Відповіді 236 Тема 13. Похідна функції однієї незалежної змінної 237 13.1. Задачі, які приводять до поняття похідної 237 13.2. Означення похідної, її геометричний, механічний та економічний зміст 239 13.3. Схема знаходження похідної. Правила диференцію- вання. Похідні вищих порядків 241 13.4. Похідна складної та неявної функції 243 13.5. Похідні основних елементарних функцій 245 13.6. Таблиця похідних складної функції U= U{x) 248 13.7. Логарифмічне диференціювання функції у = f(x)?{x) 248 13.8. Застосування похідних в економіці.. 249 13.9. Приклади використання похідної при розв'язуванні економічних задач 250 Питання для самоконтролю 252 Тести 253 Завдання для самостійного розв'язання 254 Відповіді 256 Тема 14. Диференціал. Основні теореми диференціаль- ного числення 258 14.1. Означення диференціала функції та його геометричний зміст ....258 14.2. Інваріантність форми диференціала 261 14.3. Застосування диференціала до наближених обчислень 261 14.4. Теореми Ферма та Роля 264 14.5. Теорема Лагранжа та її наслідки 267 14.6. Правило Лопіталя для розкриття невизначеностей 268 Питання для самоконтролю 270 Тести 270 Завдання для самостійного розв'язання 271 Відповіді 273 8 Зміст ЧАСТИНА 2 275 Розділ 4. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЇ БАГАТЬОХ НЕЗАЛЕЖНИХ ЗМІННИХ 276 Тема 15. Функції багатьох незалежних змінних 276 15.1. Поняття функції багатьох незалежних змінних та область її визначення 276 15.2. Графік та лінії рівня 282 15.3. Границя та неперервність 285 Питання для самоконтролю 290 Тести 290 Завдання для самостійного розв'язання 292 Відповіді 294 Тема 16. Частинні похідні та повний диференціал 297 16.1. Частинні прирости та похідні. Геометричний та економічний зміст частинних похідних 297 16.2. Повний диференціал функції, його геометричний та економічний зміст. Застосування повного диференціала до наближених обчислень 302 16.3. Похідна у даному напрямку. Градієнт 304 16.4. Частинні похідні вищих порядків 307 Питання для самоконтролю 309 Тести 309 Завдання для самостійного розв'язання 310 Відповіді 312 Тема 17. Екстремум функції кількох незалежних змінних... 313 17.1. Означення екстремуму функції кількох незалежних змінних 313 17.2. Необхідна та достатня умова екстремуму 314 17.3. Дослідження функції двох змінних на екстремум 316 17.4. Найбільше та найменше значення функції у замкненій множині 317 17.5. Необхідна умова глобального екстремуму та опуклі функції 321 17.6. Умовний екстремум в економіці 323 Питання для самоконтролю 326 Тести 326 9 Зміст Завдання для самостійного розв'язання 327 Відповіді 329 Тема 18. Емпіричні формули 330 18.1. Поняття про емпіричні формули та їх особливості 330 18.2. Вибір типу залежності між змінними величинами 331 18.3. Визначення параметрів лінійної залежності методом найменших квадратів 332 Питання для самоконтролю 334 Тести 335 Завдання для самостійного розв'язання 336 Розділ 5. ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЇ ОДНІЄЇ НЕЗАЛЕЖНОЇ ЗМІННОЇ 337 Тема 19. Первісна функції та невизначений інтеграл 337 19.1. Задачі диференціювання та інтегрування. Означення первісної 337 19.2. Теорема про множину первісних 338 19.3. Невизначений інтеграл та його властивості 339 19.4. Таблиця основних інтегралів 341 Питання для самоконтролю 342 Тести 342 Завдання для самостійного розв'язання 344 Тема 20. Методи інтегрування 345 20.1. Безпосереднє інтегрування 345 20.2. Інтегрування за допомогою розкладання 347 20.3. Інтегрування методом підстановки (заміни) 349 20.4. Інтегрування частинами 350 Питання для самоконтролю 353 Тести 353 Завдання для самостійного розв'язання 355 Відповіді 357 Тема 21. Інтегрування раціональних функцій 358 21.1. Раціональний дріб. Правильні та неправильні дроби 358 21.2. Інтегрування правильних раціональних дробів 359 21.3. Інтегрування виділенням повного квадрата у загальному вигляді 361 10 Зміст 21.4. Загальний алгоритм інтегрування раціональних дробів 362 21.5. Розкладання правильного раціонального дробу на суму найпростіших методом невизначених коефіцієнтів 364 Питання для самоконтролю 367 Тести 367 Завдання для самостійного розв'язання 369 Відповіді 370 Тема 22. Інтегрування тригонометричних та ірраціо- нальних функцій 371 22.1. Інтегрування тригонометричних функцій 371 22.2. Універсальна тригонометрична підстановка 374 22.3. Інтегрування найпростіших ірраціональних функцій 376 22.4. Інтегрування біноміальних диференціалів 378 22.5. Підстановки Ейлера 380 22.6. Інтегрування ірраціональних функцій за допомогою тригонометричних підстановок 382 22.7. Інтеграли, які не зводяться до елементарних 385 Питання для самоконтролю 385 Тести 386 Завдання для самостійного розв'язання 387 Відповіді 389 Тема 23. Визначений інтеграл та його зв'язок з невизначеним 392 23.1. Задача знаходження площі криволінійної трапеції та інтегральна сума 392 23.2. Поняття визначеного інтеграла 394 23.3. Геометричний та економічний зміст визначеного інтеграла 395 23.4. Властивості визначеного інтеграла 396 23.5. Теорема про середнє для визначеного інтеграла 397 23.6. Визначений інтеграл зі змінною верхньою границею та його похідна 399 23.7. Формула Ньютона - Лейбніца 400 Питання для самоконтролю 402 Тести 402 11 Зміст Завдання для самостійного розв'язання 404 Відповіді 405 Тема 24. Методи обчислення визначеного інтеграла 406 24.1. Знаходження визначеного інтеграла методом заміни змінної 406 24.2. Інтегрування частинами 407 24.3. Наближене обчислення визначених інтегралів методами прямокутників, трапеції, Сімпсона 408 24.4. Використання поняття визначеного інтеграла для розв'язування економічних прикладів 413 24.5. Невласні інтеграли. Інтеграл Ейлера - Пуассона 415 Питання для самоконтролю 419 Тести 420 Завдання для самостійного розв'язання 421 Відповіді 423 Тема 25. Кратні інтеграли 425 25.1. Подвійний інтеграл 425 25.2. Основні властивості подвійного інтеграла 427 25.3. Обчислення подвійного інтеграла через повторний.... 428 Питання для самоконтролю 430 Тести 431 Завдання для самостійного розв'язання 434 Відповіді 435 Розділ 6. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ 436 Тема 26. Диференціальні рівняння 436 26.1. Поняття диференціального рівняння, його порядок та розв'язок 436 26.2. Диференціальне рівняння 1-го порядку та його геометричний зміст 438 26.3. Теорема Коші (про існування та одиничність розв'язку диференціальних рівнянь) 440 26.4. Неповні диференціальні рівняння. Диференціальні рівняння з відокремлюваними змінними 441 26.5. Однорідні рівняння 1-го порядку 443 26.6. Диференціальні рівняння 2-го порядку, які дають змогу знижувати порядок 444 12 Зміст Питання для самоконтролю 445 Тести 445 Завдання для самостійного розв'язання 446 Відповіді 447 Тема 27. Лінійні диференціальні рівняння 449 27.1. Лінійні диференціальні рівняння 1-го порядку 449 27.2. Лінійні однорідні диференціальні рівняння 2-го порядку зі сталими коефіцієнтами 451 27.3. Системи лінійних диференціальних-рівнянь 453 Питання для самоконтролю 459 Тести 460 Завдання для самостійного розв'язання 461 Відповіді 463 Розділ 7. РЯДИ 464 Тема 28. Числовий ряд та його збіжність 464 28.1. Означення числового ряду та поняття про його збіж-ність 464 28.2. Ряд геометричної прогресії 465 28.3. Властивості числових рядів .. 467 28.4. Необхідна ознака збіжності 467 28.5. Гармонійний ряд 468 Питання для самоконтролю 470 Тести 470 Завдання для самостійного розв'язання 471 Відповіді 473 Тема 29. Достатні ознаки збіжності числових рядів 474 29.1. Загальне поняття про достатні ознаки 474 29.2. Ознака порівняння рядів 475 29.3. Ознака збіжності Д'Аламбера 476 29.4. Формулювання інтегральної та радикальної ознак Коші 479 29.5. Узагальнений гармонійний ряд 480 29.6. Ознака Лейбніца про збіжність знакозмінних рядів ... 481 29.7. Абсолютна та умовна збіжність рядів 483 Питання для самоконтролю 485 Тести 485 13 Зміст Завдання для самостійного розв'язання 488 Відповіді 490 Тема ЗО. Степеневий ряд та розвинення функцій у степеневий ряд 492 30.1. Поняття функціонального ряду. Степеневий ряд 492 30.2. Область збіжності степеневого ряду 494 30.3. Властивості степеневих рядів 498 30.4. Ряди Тейлора і Маклорена 499 30.5. Розвинення деяких елементарних функцій у ряд 501 30.6. Використання рядів до наближених обчислень 504 Питання для самоконтролю 508 Тести 509 Завдання для самостійного розв'язання 510 Відповіді 512 Рекомендована література 515