TABLE DES MATIERES Avant-propos 12 PREMIERE PARTIE. STATISTIQUE APPLIQUEE: ESSENCE ET OBJECTIF (principes methodiques generaux) 15 CHAPITRE PREMIER. La statistique appliquee: une discipline scien- tifique autonome 15 1.1. Lien entre la statistique appliquee et les autres disciplines statistiques et principales etapes de la recherche statistique 15 1.1.1. Definition de la statistique appliquee 15 1.1.2. Deux fagons d'interpreter les donnees initiales et deux approchesdeleurtraitement statistique 16 1.1.3. Principales etapes du traitement statistique des donnees initiales 20 1.2. Formulation d'optimisation des principaux problemes de statistique appliquee et stabilite des inferences statistiques 27 1.2.1. Lien entre la formulation d'optimisation des principaux problemes de statistique appliquee et la stabilite des inferences statistiques 27 1.2.2. Etude statistique des dependences des variables . . 28 1.2.3. Classification des objets ou des variables 31 1.2.4. Abaissement de la dimension de l'espace factoriel et selection des variables les plus informatives ... 32 Conclusions 33 CHAPITRE 2. Methode de raisonnement probabiliste en statistique ap pliquee 35 2.1. Theorie des probabilites et conditions de son application . . 35 2.1.1. Ensemble statistique et " jeu du hasard " 35 2.1.2. Theorie des probabilites et conditions d'ensemble statistique 36 2.1.3. Classification des situations reelles par les conditions d'ensemble statistique 37 2.2. " Rapports " entre la theorie des probabilites et la statistique mathematique 40 2.2.1. Mode statistique de prise de decision 40 2.2.2. Mode probabiliste de raisonnement 40 2.2.3. Mode probabilisto-statistique (ou mathematico-sta-tistique) de prise de decision 41 Conclusions 43 CHAPITRE 3. Modeles mathematiques en statistique appliquee ... 45 3.1. A quoi servent les modeles mathematiques? 45 3.1.1. Deux facons de voir la modelisation statistique ... 45 3.1.2. Notion de modele mathematique 46 3.2. Schema logique general et principales etapes de modelisation mathematique 48 3.2.1. Principales etapes de modelisation 48 3.2.2. Modelisation du mecanisme d'un evenement au lieu d'une photographie statistique formelle 50 3.3. Notion de simulation statistique 52 3.4. Objections contre les modeles mathematiques 53 3.5. Types de modeles mathematiques les plus souvent utilises en statistique appliquee 54 3.5.1. Modeles des lois de probabilite de variables aleatoires 54 3.5.2. Modeles probabilistes lineaires 54 3.5.3. Generalisation des modeles lineaires 56 3.5.4. Modeles geometriques 57 3.5.5. Modeles markoviens 58 Conclusions 58 DEUXIEME PARTIE. FONDEMENTS MATHEMATIQUES DE LA ТНЁОШЕ DES PROBABILITES 60 CHAPITRE 4. Operations sur les evenements aleatoires et les probabilites de leur realisation 60 4.1. Espace probabilise discret 60 4.1.1. Experience aleatoire 60 4.1.2. Evenements aleatoires et operations sur eux .... 61 4.1.3. Espace probabilise. Probabilites et operations sur elles 65 4.2. Espace probabilise contiiiu (axiomatique do Kolmogorov) 74 4.2.1. Specificite du cas general (continu) do l'espace probabilise 74 4.2.2. Evenements aleatoires, probabilites et operations (approche axiomatique de Kolmogorov) 76 Conclusions 79 CHAPITRE 5. Variables aleatoires 81 5.1. Definition et exemples de variables aleatoires 81 5.2. Valeurs possibles et observees d'une variable aleatoire ... 83 5.3. Types de variables aleatoires 83 5.4. Loi de probabilite d'une variable aleatoire. Population generale et eehantillon 86 5.4.1. Loi de probabilite 86 5.4.2. Population generate et eehantillon 90 5.4.3. Principales methodes d'organisation de l'echantillon-nage 93 5.5. Methodes de definition de la loi de probabilite: fo net ion de repartition, densite de probabilite et leurs analogues empi- riques 95 5.5.1. Fonction de repartition d'une variable aleatoire a une dimension 95 5.5.2. Densite de probabilite d'une variable aleatoire a une dimension 98 5.5.3. Fonction de repartition et densite de probabilite conjointes. Independance statistique des variables aleatoires 101 5.6. Principales caracteristiques numeriques des variables alea toires et leurs analogues empiriques 106 5.6.1. Notion d'esperance mathematique et de moment . . 107 5.6.2. Caracteristiques du centre de groupement des valeurs de la variable aleatoire 109 5.6.3. Caracteristiques du degre de dispersion d'une variable aleatoire 112 5.6.4. Serie variationnelle et statistiques de rang .... 114 5.6.5. Quantiles et points de pourcentage d'une repartition 117 5.6.6. Dissymetrie et aplatissement 118 5.6.7. Principales caracteristiques des repartitions multi-dimensionnelles (covariance, correlation, variance generalisee, etc.) 120 Conclusions 123 CHAPITRE 6. Les lois de probabilite modeles les plus couramment uti- lisees dans les recherches statistiques 126 6.1. Lois de probabilite servant a decrire les mecanismes de pro cessus ou de systemes reels 126 6.1.1. Lois decrivant une suite d'epreuves de Bernoulli: la loi binomiale et la loi binomiale negative . . . 126 6.1.2. Loi hypergeometrique 129 6.1.3. Loi de Poisson 131 6.1.4. Loi polynomiale 132 6.1.5. Loi normale (de Gauss) 133 6.1.6. Loi lognormale 137 6.1.7. Loi uniforme (rectangulaire) 141 6.1.8. Loi de Weibull et loi exponentielle 143 6.1.9. Loi de Pareto 147 6.1.10.Loi deCauchy 147 6.1-ll.Quelques combinaisons des principales lois de pro babilite modeles utilisees en statistique appliquoe 148 6.2. Lois de probabilite utilisees dans les calculs statistiques . . 150 6.2.1. Loi du ?2 150 6.2.2. Loi t de Student 153 6.2.3. Loi F (loi du rapport dispersionnel) 154 6.2.4. Remarque sur les lois non centrees du ?2, F et t . . 157 6.2.5. Loi gamma 157 6.2.6. Loi beta 158 6.3. Technique de simulation statistique d'observations suivant une loi donnee 160 6.3.1. Generation de nombres aleatoires uniformement re-partis sur l'intervalle [0, 1] 160 6.3.2. Simulation des variables aleatoires discretes. Me-thode standard 162 6.3.3. Simulation de lois continues 163 Conclusions 165 CHAPITRE 7. Resultats fondamentaux de la theorie des probabilites . 184 7.1. Inegalite de Tchebychev 184 7.2. Propriete de stabilite statistique des caracteristiques empi-riques : loi des grands nombres et see consequences 185 7.2.1. Loi des grands nombres 186 7.2.2. Theoreme de J. Bernoulli 187 7.2.3. Stabilite statistique des caracteristiques empiriques 187 7.3. Role particulier de la loi normale: theoreme limite central 189 7.3.1. Theoreme limite central 190 7.3.2. Theoreme limite central multidimensionnel .... 190 7.4. Loi de probabilite de variables aleatoires qui sont fonctions de variables aleatoires connues 193 Conclusions 197 TROISIEME PARTIE. ELEMENTS DE STATISTIQUE МАТНЁМА-TIQUE 199 CHAPITRE 8. Estimation statistique des parametres 199 8.1. Notions preliminaires d'estimation statistique des parametres … 200 8.1.1. Position du probleme 200 8.1.2. Statistiques, estimations statistiques et leurs principals proprietes 201 8.1.3. Estimation convergente 202 8.1.4. Estimation sans biais 202 8.1.5. Estimation efficace 204 8.2. Fonction de vraisemblance. Quantite d'information con-tenue dans n observations independantes par rapport a la valeur inconnue du parametre 206 8.3. Inegalite de Rao-Cramer-Frechet et mesure de l'efficacite des estimations 208 8.4. Proprietes asymptotiques des estimations 212 8.5. Notion d'estimation par intervalles. Construction des regions de confiance 214 8.6. Methodes d'estimations statistiques des parametres inconnus 215 8.6.1. Methode du maximum de vraisemblance 215 8.6.2. Methode des moments 223 8.6.3. Methode des moindres carres 226 8.6.4. Estimation par les statistiques " ponderees "; censure, troncature des echantillons et statistiques de rang comme cas particulier de ponderation 231 8.6.5. Construction des intervalles de confiance (regions de confiance) 235 8.6.6. Approche bayesienne de Г estimation statistique . 239 Conclusions……………………………………………………….. 242 CHAPITRE 9. Test d'hypotheses statistiques 245 9.1. Principaux types d'hypotheses testees 245 9.1.1. Hypotheses relatives au type de loi de probabilite de la variable aleatoire etudiee 245 9.1.2. Hypotheses d'homogeneite de deux ou plusieurs echantillons ou de certaines caracteristiques des populations analysees 246 9.1.3. Hypotheses concernant les valeurs numeriques des parametres de la population generale etudiee 247 9.1.4. Hypotheses concernant le type de dependence entre les composantes de la variable multidimensionnelle etudiee 247 9.1.5. Hypotheses concernant Г independence et la station-narite des observations traitees 248 9.2. Principe logique general d'un test statistique 248 9.3. Construction d'un test statistique; principe du rapport de vraisemblance . 250 9.3.1. Essence du principe du rapport de vraisemblance . 251 9.3.2. Test d'une hypothese simple par le logarithme du rapport de vraisemblance 253 9.3.3. Test d'une hypothese multiple 254 9.4. Criteres de " qualite " d'un test statistique 254 9.5. Procedure sequentielle de prise de decision (tests sequentiels) 257 9.5.1. Procedure sequentielle d'observation 257 9.5.2. Test sequentiel du rapport de vraisemblance (test de Wald) et ses proprietes 258 9.5.3. Test sequentiel generalise entre hypotheses multiples 260 Conclusions 262 QUATRIEME PARTIE. TRAITEMENT STATISTIQUE PRIMAIRE DES DONNEES 264 CHAPITRE 10. Statistique descriptive 264 10.1. Dossier de l'analyse; introduction et memorisation des don nees ; inspection des donnees 264 10.1.1. Dossier d'etude 264 10.1.2. Introduction et stockage des donnees 265 10.1.3. Inspection des donnees 265 10.2. Echelles de mesuros 266 10.2.1. Echelle nominale 267 10.2.2. Echelle ordinale 267 10.2.3. Echelles quantitatives 268 10.2.4. Unification des donnees 269 10.3. Lois empiriques 271 10.3.1. Histogramme . . . 271 10.3.2. Estimations non parametriques de la densite . . . 273 10.3.3. Estimation de la fonction de repartition 273- 10.3.4. Transformation des variables 274 10.3.5. Tableaux de contingence 275 10.4. Estimation des parametres de localisation et d'echelle . . 276 10.4.1. Position du probleme 276 10.4.2. Estimation des parametres de la loi normale . . . 277 10.4.3. Methode graphique d'estimation 277 10.4.4. Stabilite des estimations pour de petits ecarts de la repartition par rapport a la normale 278 10.4.5. Estimation de la position du centre des lois symetri-ques 280 10.4.6. Parametrisation a l'aide des estimations exponen- tiellement ponderer (EEP) 282 10.5. Visualisation des donnees multidimensionnelles 285 10.5.1. Position du probleme 285 10.5.2. Composantes principales 287 10.5.3. Proprietes de la plus petite deformation de la structure geometrique des composantes principales 289 10.5.4. Applications non lineaires dans un espace de moindre dimension 290 10.5.5. Analyse des proximites lineaire 293 Conclusions 294 CHAPITRE 11. Analyse preliminaire de la nature des donnees .... 297 11.1. Test d'ajustement du modele de loi choisi avec les donnees initiales 297 11.1.1. Test du ?2 de Pearson 298 11.1.2. Test de la normalite dI'une repartition d'apres son coefficient de dissymetrie, son coefficient d'aplatis-sement et ses ecarts moyens 300 11.1.3. Test de Kolmogorov-Smirnov et son application a la construction de la region de confiance pour la foaction de repartition inconnue 304 11.1.4. Test du со2 (Cramer-Mises-Smirnov) 306 11.1.5. Modifications des statistiques des tests de Kolmo-gorov-Smirnov et du ?2 pour Les echantillons de petite taille 306 11.1.6. Technique statistique de realisation pratique des tests non parametriques 307 11.1.7. Application des tests de Kolmogorov et du со2 pour verifier la normalite d'une fonction de repartition dependant de parametres inconnus 308 11.2. Test des hypotheses d'homogeneite et de symetrie d'une re partition 310 11.2.1. Tests d'homogeneite bases sur les fonctions de repartition empiriques 310 11.2.2. Test d'homogeneite du ?2 314 11.2.3. Tests de rang d'homogeneite 315 11.2.4. Test non parametrique de l'hypothese d'egalite des variances 319 11.2.5. Tests de rang pour k > 2 321 11.2.6. Test de symetrie des repartitions 322 11.2.7. Traitement des coincidences 324 11.2.8. Test d'homogeneite des populations normales (cas scalaire) 326 11.2.9. Test d'homogeneite de populations normales multi-dimensionnelles 329 11.3. Test d'independance et de stationnarite d'une serie d'obser- vations 332 11.3.1. Test des blocs, base sur la mediane de l'echantillon 332 11.3.2. Test des series " ascendantes " et " descendantes " 334 11.3.3. Test des carres des differences sequentielles (test d'Abbe) 335 11.4. Methodes de traitement statistique des donnees manquantes 336 11.4.1. Estimation des parametres inconnus en cas d'obser-vations manquantes 337 11.4.2. Utilisation des composantes principales 339 11.4.3. Reconstitution des donnees manquantes et estimation des parametres par la methode du maximum de vraisemblance. Estimations du " point fixe " 340 11.4.4. Methode non parametrique d'estimation des donnees manquantes 343 11.5. Analyse des observations anomales 344 11.5.1. Position du ргоЬІадіе 344 11.5.2. Methodes graphiques 345 11.5.3. Methode analytique d'exclusion d'une observation extreme 346 11.5.4. Test analytique d'elimination simultanee de plusieurs observations extremes 346 Conclusions 347 oCHAPITRE 12. Logiciel de la statistique appliquee et quetques problemes relatifs a la technique de calcul 350 12.1. Logiciel de la statistique appliquee 350 12.1.1. Organisation des paquets de programmes 351 12.1.2. Problemes d'organisation et possibilites de gestion des donnees 353 12.1.3. Methodes de traitement preliminaire (manipulation) des donnees 355 12.1.4. Traitement des donnees manquantes 355 12.1.5. Traitement primaire des donnees qualitatives . . 357 12.1.6. Methodes de visualisation des donnees 359 12.1.7. Estimation des parametres et localisation des observations anomales 360 12.2. Calcul des functions de repartition et de leurs inverses . . . 361 12.2.1. Loi normale 362 12.2.2. Loi du ?2 364 12.2.3. Loi beta 366 12.2.4. Loi de Fisher 367 12.2.5. Loi t de Student 367 12.2.6. Lois non centrees 368 12.2.7. Approximation des ailes des lois de type ?2 . . . 369 12.2.8. Loi normale multidimensionnelle 370 12.2.9. Lois discretes 373 12.2.10. Calcul de l'esperance mathemalique des statistiques de rang 373 Conclusions 375 Notations 375 Observations primaires 375 Notions de theorie des probabilites 376 Notions de statistique mathematique 377 Bibliographie 378 Index terminologique 384