Підручник написано відповідно до програми курсу математичного аналізу для студентів спеціальності "Прикладна математика та інформатика" класичних університетів України. У ньому подано елементи теорії множин та аксіоматику дійсних чисел, детально розглянуто теорії границь, числових та функціональних рядів, диференціального та інтегрального числення функцій однієї та багатьох змінних. В останньому розділі висвітлено теорію аналітичних функцій комплексної змінної та її застосування. Наведено багато прикладів, які допоможуть краще засвоїти новий матеріал, а також запропоновано вправи для самостійної роботи. Призначено для студентів математичних і природничих спеціальностей вищих навчальних закладів. ЗМІСТ Передмова Ю РОЗДІЛ 1. Теорія множин. Дійсні числа 11 1.1. Логічні символи П 1.2. Множини. Операції з множинами 12 1.3. Загальне поняття функції (відображення) 17 1.4. Потужність множин. Зліченні множини 19 1.5. Аксіоми та основні властивості множини дійсних чисел 22 1.6. Принцип точної верхньої межі 26 1.7. Найважливіші класи дійсних чисел 29 1.8. Принцип Архімеда 31 1.9. Принцип вкладених відрізків 33 1.10. Множина потужності континуум 34 Розділ2. Границя числової послідовності 36 2.1. Означення границі послідовності 36 2.2. Загальні властивості границь 37 2.3. Нескінченно малі (великі) послідовності 40 2.4. Арифметичні властивості границь 43 2.5. Невизначеності 46 2.6. Монотонні послідовності 47 2.7. Число Ейлера 50 2.8. Часткова границя послідовності. Верхня та нижня границі послідовності 52 2.9. Фундаментальна послідовність. Критерій Коші 56 Розділ 3. Границя функції 58 3.1. Означення границі функції в точці за Коші та за Гейне. їхня еквівалентність 58 3.2. Односторонні границі 60 3.3. Основні властивості функцій, що мають границю в точці.... 62 3.4. Нескінченно малі та нескінченно великі функції 64 3.5. Границі на нескінченності. Загальне означення границі 64 3.6. Критерій Коші існування границі функції 66 3.7. Границя монотонної функції 67 3.8. Невизначеності 68 3.9. Важливі границі 69 3.10. Порівняння функцій 71 Розділ 4. Неперервні функції 76 4.1. Неперервність функції в точці 76 4.2. Точки розриву. їхня класифікація 78 4.3. Властивості неперервних у точці функцій 79 4.4. Властивості функцій, неперервних на відрізках 80 4.5. Обернені функції 83 4.6. Умова неперервності монотонних функцій 85 4.7. Неперервність основних елементарний функцій 86 4.8. Обчислення деяких границь 88 4.9. Рівномірна неперервність. Теорема Кантора 90 4.10. Лема про скінченне покриття 91 Розділ 5. Похідна і диференціал 93 5.1. Означення похідної 93 5.2. Геометричний зміст похідної 94 5.3. Диференційовні функції. Диференціал 96 5.4. Диференціювання й арифметичні дії з функціями 98 5.5. Похідна оберненої функції 100 5.6. Похідна і диференціал складеної функції 101 5.7. Таблиця похідних основних елементарних функцій 103 5.8. Похідні вищих порядків 104 5.9. Формула Лейбніца для п-ї похідної добутку двох функцій.... 105 5.10. Диференціали вищих порядків 107 5.11. Похідні заданої параметрично функції 109 Розділ 6. Основні теореми про диференційовні функції 110 6.1. Зростання та спадання функції в точці. Теорема Ферма 110 6.2. Теореми Ролля, Лагранжа та Коші 112 6.3. Деякі наслідки з теореми Лагранжа 115 6.4. Відсутність точок розриву першого роду похідної 116 6.5. Розкриття невизначеностей. Правила Лопіталя 118 6.6. Формула Тейлора 123 6.7. П'ять основних формул Маклорена 126 Розділ 7. Дослідження функцій 130 7.1. Ознаки монотонності функцій 130 7.2. Достатні умови екстремуму 130 7.3. Опуклість функції 133 7.4. Точки перегину 134 7.5. Достатні умови перегину 135 7.6. Асимптоти ...136 Розділ 8. Первісна та невизначений інтеграл 137 8.1. Означення первісної та невизначеного інтеграла 137 8.2. Таблиця основних інтегралів 139 8.3. Методи заміни змінної та інтегрування частинами 141 8.4. Інтегрування раціональних функцій. Метод Остроградського 144 8.5. Інтегрування деяких виразів, що містять радикали 151 8.6. Інтегрування деяких тригонометричних функцій 154 Розділ 9. Визначений інтеграл 156 9.1. Поняття визначеного інтеграла 156 9.2. Обмеженість інтегровної функції 158 9.3. Суми Дарбу 15! 9.4. Критерій інтегровності обмеженої функції 16 9.5. Класи інтегровних функцій 16! 9.6. Властивості визначеного інтеграла 16: 9.7. Інтеграл по орієнтованому проміжку 16' 9.8. Зв'язок між визначеним та невизначеним інтегралами 161 Розділ 10. Геометричні застосування визначеного інтеграла 17 10.1. Адитивна функція орієнтованого проміжку та інтеграл 172 10.2. Площа криволінійної трапеції та криволінійного сектора 173 10.3. Об'єм тіла обертання 175 10.4. Довжина шляху (дуги кривої) 177 Розділ 11. Невластиві інтеграли 186 11.1. Означення та приклади невластивих інтегралів 186 11.2. Основні властивості невластивого інтеграла 188 11.3. Критерій Коші. Абсолютна й умовна збіжність невластивого інтеграла 190 11.4. Невластиві інтеграли з декількома особливостями 195 Розділ 12. Числові ряди 198 12.1. Поняття ряду та його основні властивості 198 12.2. Критерій Коші. Абсолютна збіжність 200 12.3. Ряди з невід'ємними членами 201 12.4. Ознаки збіжності рядів із членами різних знаків 205 12.5. Ознаки Діріхле та Абеля 207 12.6. Властивості збіжних рядів 208 Розділ 13. Функціональні послідовності та ряди 214 13.1. Поточкова та рівномірна збіжність функціональних 214 послідовностей 13.2. Рівномірно збіжні функціональні ряди 217 13.3. Властивості функціональних послідовностей 219 13.4. Степеневі ряди 224 13.5. РядТейлора 229 Розділ 14. Ряди Фур'є 231 14.1. Ортонормовані системи в нескінченновимірних евклідових просторах 231 14.2. Загальні ряди Фур'є та тригонометричний ряд Фур'є 234 14.3. Властивості рядів Фур'є за замкненими ортонормованими системами 237 14.4. Замкненість тригонометричної системи 238 14.5. Збіжність у середньому. Інтегрування тригонометричного ряду Фур'є 239 14.6. Найпростіші умови рівномірної збіжності та почленного диференціювання тригонометричного ряду Фур'є 242 РОЗДІЛ15. Функції багатьох змінних 248 15.1. Простір Rт 249 15.2. Топологічні поняття в просторі Rт 251 15.3. Збіжні послідовності в Rт ..254 15.4. Границя функції багатьох змінних 257 15.5. Неперервні функції багатьох змінних 262 15.6. Компактні множини. Неперервність і компактність 266 РОЗДІЛ 16. Диференціювання функцій багатьох змінних 268 16.1. Часткові похідні та повний диференціал 268 16.2. Похідні та диференціал складеної функції 271 16.3. Геометричний зміст часткових похідних і повного диференціала 273 16.4. Похідні вищих порядків 275 16.5. Диференціали вищих порядків 277 16.6. Формула Тейлора 280 16.7. Екстремуми функцій багатьох змінних 282 Розділ 17. Теорія неявних функцій та їхнє застосування………………….288 17.1. Позначення і формулювання задачі……………………………….288 17.2. Теореми про неявну функцію………………………………………289 17.3. Функціональні визначники (якобіани). Теорема про неявну вектор-функцію…………………………………………….293 17.4. Умовні екстремуми. Метод невизначених множників Лагранжа…………………………………………………………….296 Розділ 18. Кратні інтеграли…………………………………………………...299 18.1. Площа плоскої фігури……………………………………………..299 18.2. Означення та умови існування подвійного інтеграла……………303 18.3. Класи інтегровних функцій………………………………………..305 18.4. Властивості подвійних інтегралів…………………………………306 18.5. Зведення подвійного інтеграла до повторних……………………308 18.6. Заміна змінних. Геометричний зміст модуля якобіана………….312 18.7. Потрійні та л-кратні інтеграли…………………………………….315 Розділ19. Криволінійні інтеграли…………………………………………. 318 19.1. Криволінійний інтеграл першого роду. Теорема існування... ….318 19.2. Криволінійні інтеграли другого роду. Теорема існування………321 19.3. Формула Гріна……………………………………………………...323 19.4. Незалежність криволінійного інтеграла від шляху інтегрування………………………………………………………..325 Розділ20. Поверхневі інтеграли……………………………………………. 329 20.1. Означення поверхні. Дотична площина і нормаль до поверхні…………………………………………………………….329 20.2. Площа поверхні. Кусково-гладкі поверхні……………………….333 20.3. Поверхневі інтеграли першого та другого роду………………….337 20.4. Векторні та скалярні поля. їхні характеристики…………………340 20.5. Формула Гаусса-Остроградського. Геометричне тлумачення дивергенції………………………………………………………….342 20.6. Формула Стокса. Геометричне тлумачення ротора 344 20.7. Соленоїдні та потенційні векторні поля 347 РОЗДІЛ 21. Інтеграли, залежні від параметра 349 21.1. Рівномірна збіжність функції двох змінних до граничної функції 350 21.2. Властиві інтеграли, залежні від параметра 353 21.3. Рівномірна збіжність інтегралів 357 21.4. Властивості невластивих інтегралів, залежних від параметра 359 21.5. Обчислення деяких невластивих інтегралів 364 21.6. Інтеграли Ейлера 366 РОЗДІЛ 22. Аналітичні функції комплексної змінної 372 22.1. Функції комплексної змінної. Неперервність та диференційовність 372 22.2. Поняття моногенності та аналітичності функції. Умови Коші-Рімана 375 22.3. Елементарні аналітичні функції 377 22.4. Елементарні багатозначні функції ..387 22.5. Визначений інтеграл 391 22.6. Інтегральні теореми та формули Коші 393 22.7. Функціональні ряди. Теорема Вейєрштрасса 396 22.8. Степеневі та узагальнені степеневі ряди 398 22.9. Нулі аналітичних функцій 404 22.10. Ізольовані особливі точки однозначного характеру 406 22.11. Лишки. Основна теорема про лишки та її застосування 409 Список літератури 415 Предметний покажчик