Данная книга представляет собой переработанный вариант учебного пособия "Численные методы" тех же авторов, вышедшего в 1987 году. Добавлен материал, относящийся к решению систем линейных уравнений с плохо обусловленными матрицами, решению задачи Коши для систем жестких обыкновенных дифференциальных уравнений, аппроксимации функций, методу сопряженных градиентов. Видоизменено изложение оптимального линейного итерационного процесса и рассмотрен многосеточный итерационный метод - один из наиболее применяемых в настоящее время методов решения сеточных краевых задач. Предисловие 7 Введение 8 1 Погрешность результата численного решения задачи 17 § 1. Источники и классификация погрешности 17 § 2. Запись чисел в ЭВМ 21 § 3. Абсолютная и относительная погрешности. Формы записи данных 22 § 4. О вычислительной погрешности 25 § 5. Погрешность функции 27 § 6. Обратная задача 32 2 Интерполяция и численное дифференцирование 35 § 1. Постановка задачи приближения функций 36 § 2. Интерполяционный многочлен Лагранжа 39 § 3. Оценка остаточного члена интерполяционного многочлена Лагранжа 43 § 4. Разделенные разности и их свойства 43 § 5. Интерполяционная формула Ньютона с разделенными раз- ностями 45 § 6. Разделенные разности и интерполирование с кратными уз- лами 48 § 7. Уравнения в конечных разностях 51 § 8. Многочлены Чебышева 58 § 9. Минимизация оценки остаточного члена интерполяционной формулы 62 § 10. Конечные разности 65 §11. Интерполяционные формулы для таблиц с постоянным ша- гом 68 § 12. Составление таблиц 71 § 13. О погрешности округления при интерполяции 74 § 14. Применения аппарата интерполирования. Обратная интерпо- ляция 75 § 15. Численное дифференцирование 76 § 16. О вычислительной погрешности формул численного диффе- ренцирования 83 § 17. Рациональная интерполяция 84 3 Численное интегрирование 86 §1. Простейшие квадратурные формулы. Метод неопределенных коэффициентов 86 § 2. Оценки погрешности квадратуры 89 § 3. Квадратурные формулы Ньютона- Котеса 94 § 4. Ортогональные многочлены 99 § 5. Квадратурные формулы Гаусса 100 § 6. Практическая оценка погрешности элементарных квадратур- ных формул 113 § 7. Интегрирование быстро осциллирующих функций 116 § 8. Повышение точности интегрирования за счет разбиения от резка на равные части 119 § 9. О постановках задач оптимизации 124 § 10. Постановка задачи оптимизации квадратур 129 § 11. Оптимизация распределения узлов квадратурной формулы 130 § 12. Примеры оптимизации распределения узлов 137 § 13. Главный член погрешности 140 § 14. Правило Рунге практической оценки погрешности 144 § 15. Уточнение результата интерполяцией более высокого поряд- ка точности 148 § 16. Вычисление интегралов в нерегулярном случае 150 § 17. Принципы построения стандартных программ с автоматиче- ским выбором шага : 157 4 Приближение функций и смежные вопросы 164 § 1. Наилучшие приближения в линейном нормированном про- странстве 164 § 2. Наилучшее приближение в гильбертовом пространстве и во- просы, возникающие при его практическом построении .... …..166 § 3. Тригонометрическая интерполяция. Дискретное преобразо- вание Фурье 171 § 4. Быстрое преобразование Фурье 175 § 5. Наилучшее равномерное приближение 178 § 6. Примеры наилучшего равномерного приближения 181 § 7. О форме записи многочлена 187 § 8. Интерполяция и приближение сплайнами 191 5 Многомерные задачи 201 § 1. Метод неопределенных коэффициентов 202 § 2. Метод наименьших квадратов и регуляризация 203 § 3. Примеры регуляризации 206 § 4. Сведение многомерных задач к одномерным 212 § 5. Интерполяция функций в треугольнике 220 § 6. Оценка погрешности численного интегрирования на равно- мерной сетке 222 § 7. Оценка снизу погрешности численного интегрирования 225 § 8. Метод Монте-Карло 232 §9. Обсуждение правомерности использования недетерминиро- ванных методов решения задач 236 § 10. Ускорение сходимости метода Монте-Карло 239 §11.0 выборе метода решения задачи 243 6 Численные методы алгебры 250 § 1. Методы последовательного исключения неизвестных 253 § 2. Метод отражений 262 § 3. Метод простой итерации 265 § 4. Особенности реализации метода простой итерации на ЭВМ 268 § 5. сопроцесс практической оценки погрешности и ускорения сходимости 271 § 6. Оптимизация скорости сходимости итерационных процессов 275 § 7. Метод Зейделя 285 § 8. Метод наискорейшего градиентного спуска 290 § 9. Метод сопряженных градиентов 294 § 10. Итерационные методы с использованием спектрально-экви- валентных операторов 300 §11. Погрешность приближенного решения системы уравнений и обусловленность матриц. Регуляризация 304 § 12. Проблема собственных значений 315 § 13. Решение полной проблемы собственных значений при помо- щи QR-алгоритма 320 7 Решение систем нелинейных уравнений и задач оптимиза ции 324 § 1. Метод простой итерации и смежные вопросы 326 § 2. Метод Ньютона решения нелинейных уравнений 330 § 3. Методы спуска 336 § 4. Другие методы сведения многомерных задач к задачам меньшей размерности 341 § 5. Решение стационарных задач путем установления 345 § 6. Как оптимизировать ? 352 8 Численные методы решения задачи Коши для обыкновен ных дифференциальных уравнений 360 § 1. Решение задачи Коши с помощью формулы Тейлора 361 § 2. Методы Рунге-Кутта 363 § 3. Методы с контролем погрешности на шаге 369 § 4. Оценки погрешности одношаговых методов 371 § 5. Конечно-разностные методы 376 § 6. Метод неопределенных коэффициентов 379 § 7. Исследование свойств конечно-разностных методов на мо- дельных задачах 383 § 8. Оценка погрешности конечно-разностных методов 388 § 9. Особенности интегрирования систем уравнений 396 § 10. Методы численного интегрирования уравнений второго по- рядка 409 § 11. Оптимизация распределения узлов интегрирования 412 9 Численные методы решения краевых задач для обыкновен- ных дифференциальных уравнений 417 § 1. Простейшие методы решения краевой задачи для уравнений второго порядка 417 § 2. Функция Грина сеточной краевой задачи 423 § 3. Решение простейшей краевой сеточной задали 428 § 4. Замыкания вычислительных алгоритмов 436 § 5. Обсуждение постановок краевых задач для линейных систем первого порядка 444 § 6. Алгоритмы решения краевых задач для систем уравнений первого порядка 449 § 7. Нелинейные краевые задачи 455 § 8. Аппроксимации специального типа 461 §9. Конечно-разностные методы отыскания собственных значений 473 § 10. Построение численных методов с помощью вариационных принципов 476 §11. Улучшение сходимости вариационных методов в нерегулярном случае 485 § 12. Влияние вычислительной погрешности в зависимости от формы записи конечно-разностного уравнения 488 10 Методы решения уравнений в частных производных 495 § 1. Основные понятия теории метода сеток 497 § 2. Аппроксимация простейших гиперболических задач 505 § 3. Принцип замороженных коэффициентов 521 § 4. Численное решение нелинейных задач с разрывными решениями 524 § 5. Разностные схемы для одномерного параболического уравнения 528 § 6. Разностная аппроксимация эллиптических уравнений 543 § 7. Решение параболических уравнений с несколькими пространственными переменными 566 § 8. Методы решения сеточных эллиптических уравнений 580 11 Численные методы решения интегральных уравнений 599 § 1.Решение интегральных уравнений методом замены интеграла квадратурной суммой 599 § 2. Решение интегральных уравнений с помощью замены ядра на вырожденное 604 § 3. Интегральные уравнения Фредгольма первого рода 608 Заключение 617 Список литературы 622 Предметный указатель 627