В данной книге, ориентированной на пакет MATLAB, изложены основные методы численного анализа: численные решения нелинейных уравнений, систем линейных уравнений, дифференциальных уравнений и т. д. Все методы иллюстрируются примерами, в которых используются программы из пакета MATLAB. Книга также содержит приложение, которое знакомит читателя с основными принципами построения пакета MATLAB. Книга рассчитана на студентов технических вузов, прослушавших курс высшей математики и имеющих представление о программировании. Ее целесообразно использовать как учебник при чтении курсов, посвященных численным методам. Книга выдержала три издания и широко используется в высших учебных заведениях США и других стран. Содержание Предисловие 9 1 Предварительные сведения 12 1.1 Некоторые сведения из математического анализа 13 1.2 Двоичные числа 25 1.3 Анализ ошибок 37 2 Решение нелинейных уравнений f(x)=0 54 2.1 Использование итерации для решения уравнения х = g(х) 55 2.2 Методы интервалов локализации корня 66 2.3 Начальное приближение и критерий сходимости 78 2.4 Метод Ньютона-Рафсона и метод секущих 86 2.5 Процесс Эйткена и методы Стеффенсена и Мюллера (оптимальные) 107 3 Решение систем линейных уравнений АХ=В 119 3.1 Введение в теорию векторов и матриц 119 3.2 Свойства векторов и матриц 128 3.3 Верхняя треугольная система линейных уравнений 140 3.4 Метод исключения Гаусса и выбор главного элемента 145 3.5 Разложение на треугольные матрицы 162 3.6 Итеративные методы для линейных систем 178 3.7 Итерация для нелинейных систем: методы Ньютона и Зейделя (оптимальные) 190 4 Интерполяция и приближение полиномами 210 4.1 Ряды Тейлора и вычисление функций 211 4.2 Введение в интерполяцию 224 4.3 Приближение Лагранжа 232 4.4 Полиномы Ньютона 247 4.5 Полиномы Чебышева (произвольные) 257 4.6 Приближение Паде 270 5 Построение кривой по точкам 279 5.1 Линия, построенная методом наименьших квадратов 280 5.2 Построение кривой по точкам 291 5.3 Интерполирование сплайнами 308 5.4 Ряды Фурье и тригонометрические полиномы 327 6 Численное дифференцирование 340 6.1 Приближение производной 341 6.2 Формулы численного дифференцирования 359 7 Численное интегрирование 374 7.1 Введение в квадратуру 375 7.2 Составная формула трапеций и Симпсона 387 7.3 Рекуррентные формулы и интегрирование по Ромбергу 402 7.4 Адаптивная квадратура 417 7.5 Интегрирование по Гауссу-Лежандру (произвольный выбор) 424 8 Численная оптимизация 434 8.1 Минимизация функции 435 9 Решение дифференциальных уравнений 461 9.1. Введение в теорию дифференциальных уравнений 462 9.2 Метод Эйлера 468 9.3 Метод Гюна 479 9.4 Метод рядов Тейлора 487 9.5 Методы Рунге-Кутта 495 9.6 Методы прогноза-коррекции 511 9.7 Системы дифференциальных уравнений 525 9.8 Краевые задачи 536 9.9 Метод конечных разностей 543 10 Решение дифференциальных уравнений в частных производных 553 10.1 Гиперболические уравнения 555 10.2 Параболические уравнения 566 10.3 Эллиптические уравнения 578 11 Собственные значения и собственные векторы 595 11.1 Однородные системы: задача о собственных значениях 596 11.2 Метод степеней 610 11.3 Метод Якоби 623 11.4 Собственные значения симметричных матриц 637 Приложение. Введение в MATLAB 653 Ссылки на рекомендуемуюлитературу 662 Список литературы 665 Ответы к упражнениям 678 Предметный указатель 703