У посібнику розглянуто питання з таких розділів вищої математики, як векторна алгебра та аналітична геометрія; диференціальне й інтегральне числення; функції багатьох змінних; диференціальні рівняння; ряди, кратні, криволінійні та поверхневі інтеграли. Теоретичний матеріал відповідає навчальній програмі з курсу вищої математики і супроводжується достатньою кількістю прикладів І задач. Особливу увагу приділено прикладній і практичній спрямованості курсу. Для студентів технічних і технологічних спеціальностей вищих навчальних закладів. ЗМІСТ Вступ 3 Глава 1* Елементи лінійної алгебри 6 §.1. Визначники 6 1.1. Визначники другого і третього порядків та їхні властивості 6 1.2. Розклад визначника за елементами рядка або стовпця 9 1.3. Поняття про визначники вищих порядків 10 Завдання для самоконтролю 12 § 2. Матриці 13 2.1. Основні означення 13 2.2. Дії над матрицями 14 2.3. Обернена матриця 16 2.4. Ранг матриці 18 Завдання для самоконтролю 19 § 3. Системи лінійних рівнянь 20 3.1. Основні означення . 20 3.2. Розв'язування систем лінійних рівнянь за формулами Крамера 21 3.3. Матричний запис системи лінійних рівнянь І ЇЇ розв'язування 24 3.4. Розв'язування систем лінійних рівнянь методом Гаусса 25 3.5. Однорідна система лінійних рівнянь . , 28 3.6. Критерій сумісності системи лінійних рівнянь 30 Завдання для самоконтролю 31 Глава 2. Елементи векторної алгебри 32 § 1. Вектори і лінійні дії з ними 32 1.1. Скалярні і векторні величини 32 1.2. Лінійні дії з векторами 33 1.3. Розклад вектора за базисом 35 1.4. "Проекція вектора на вісь 37 Завдання для самоконтролю 39 § 2. Системи координат 40 o "2.1. Декартова система координат 40 2.2. Прямокутна система координат 41 2.3. Полярна система координат 43 2.4. Перетворення прямокутних координат на площині 44 2.5. Циліндрична та сферична системи координат 45 2.6. Поняття про "-вимірний простір 46 2.7. Лінійна залежність векторів 47 Завдання для самоконтролю 49 § 3. Вектори в системі координат 50 3.1. Координати, довжина і напрямні косинуси вектора 50 3.2. Лінійні дії з векторами. Рівність І колінеарність векторів 51 3.3. Поділ відрізка в даному відношенні. Координати центра мас 52 Завдання для самоконтролю 53 § 4. Скалярний добуток двох векторів 54 4.1. Означення, геометричний та механічний зміст скалярного добутку 54 4.2. Властивості скалярного добутку 55 4.3. Вираз скалярного добутку через координати. Кут між векторами 56 Завдання для самоконтролю 58 § 5. Векторний добуток двох векторів 58 5.!. Означення і властивості векторного добутку 58 5.2. Векторний добуток двох векторів, заданих координатами 60 Завдання для самоконтролю 62 § 6. Мішаний добуток векторів 62 6.1. Означення і обчислення мішаного добутку 62 6.2. Властивості мішаного добутку 63 Завдання для самоконтролю 65 Глава 3. Елементи аналітичної геометрії 66 § 1. Лінії на площині та їхні рівняння 66 1.1. Поняття про лінію та її рівняння 66 1.2. Знаходження рівняння лінії за її геометричними властивостями 67 1.3. Полярні рівняння лінії .68 1.4. Параметричні рівняння лінії 68 1.5. Векторне рівняння лінії 70 1.6. Про залежність рівняння лінії від вибору системи координат 71 Завдання для самоконтролю 71 § 2. Поверхні і лінії в просторі. їхні рівняння 73 2.1. Поверхня та її рівняння 73 2.2. Рівняння лінії в просторі 74 Завдання для самоконтролю 75 § 3. Пряма на площині 76 3.1. Різні види рівнянь прямої на площині 76 3.2. Загальне рівняння прямої та його дослідження .78 3.3. Кут між двома, прямими. Умови паралельності і перпендикулярності двох прямих 80 3.4. Відстань від точки до прямої , 82 Завдання для самоконтролю 83 § 4. Площина в просторі 84 4.1. Загальне рівняння площини та його дослідження 84 4.2. Рівняння площини, що проходить через три точки. Ріняння площини у відрізках на осях 86 4.3. Кут між двома площинами. Умови паралельності і перпендикулярності двох площин 87 4.4. Відстань від точки до площини 88 Завдання для самоконтролю 88 § 5. Пряма лінія в просторі 89 5.1. Різні види рівнянь прямої в просторі 89 5.2. Кут між двома прямими. Умови паралельності і перпендикулярності прямих 91 5.3. Кут між прямою і площиною. Умови паралельності і перпендикулярності прямої і площини 92 Завдання для самоконтролю 96 § б Лінії другого порядку 97 6.1. Поняття лінії другого порядку 97 6.2. Коло 98 6.3. Еліпс 100 6.4. Гіпербола , 104 6.5. Парабола 108 6.6. Полярні та параметричні рівняння кривих другого порядку 110 Завдання для самоконтролю 113 § 7. Поверхні другого порядку 114 7.1. Поняття поверхні другого порядку 114 7.2. Циліндричні поверхні 114 7.3. Поверхні обертання 116 7.4. Конічні поверхні 117 7.5. Сфера 119 7.6. Еліпсоїд 119 7.7. Однопорожнинний гіперболоїд 121 7.8. Двопорожнинний гіперболоїд 121 7.9. Еліптичний параболоїд 123 7.10. Гіперболічний параболоїд 123 7.11. Лінійчаті поверхні 123 Завдання для самоконтролю 125 Глава 4. Вступ до математичного аналізу 126 § 1. Дійсні числа 126 1.1. Множини. Логічні символи 126 1.2. Множина дійсних чисел 127 1.3. Числові проміжки. Окіл точки 128 1.4. Модуль (абсолютна величина) дійсного числа 129 Завдання для самоконтролю 130 § 2 Фуькшя 131 2.J. Сталі І змінні величини 131 2.2. Поняття функції І32 2.3. Способи задания функцій 133 2.4. Класифікація елементарних функцій 138 2.5. Обмежені функції І42 2.6. Монотонні функції І43 2.7. Парні і непарні функції . 143 2.8. Періодичні функції 144 2.9. Неявно задані функції І45 З.10 Обернені функції 145 2.П. Параметрично задані функції 147 Завдання для самоконтролю 148 § 3. Границя функції 149 3.1. Числова послідовність . І49 3.2. Границя числової послідовності. Границя змінної величини. ЄдинІсть границі 150 3.3. Нескінченно великі змінні величини 153 3.4. Границя функції в точці 155 3.5. Границя функції при х оо. Нескінченно велика функція 158 3.6. Нескінченно малі величини. їхні властивості . 162 3.7. Основні теореми про границі 164 Завдання для самоконтролю 168 4. Обчислення границь функцій 169 4.1. Перша важлива границя 169 4.2. Число е. Натуральні логарифми 170 4.3. Друга важлива границя 173 4.4. Порівняння нескінченно малих функцій. Еквівалентні нескінченно малі функції 175 4.5. Розкриття деяких невизначеностей 179 Завдання для самоконтролю 183 5. Неперервність функції , 183 5.1. Неперервність функції в точці. Точки розриву , 184 5.2. Дії над неперервними функціями. Неперервність елементарних функцій 188 5.3. Властивості функцій, неперервних на відрізку 189 Завдання для самоконтролю 190 Глава 5. Диференціальне числення функцій однієї змінної 191 § 1. Похідна 191 1.1. Задачі, які приводять до поняття похідної 191 1.2. Означення похідної. Механічний, фізичний та геометричний зміст похідної 196 1.3. Графічне диференціювання 200 1.4. Односторонні похідні. Неперервність і диференційовність 201 Завдання для самоконтролю 203 § 2. Диференціювання функцій . . . 204 2.1. Правила диференціювання суми, різниці, добутку і частки .... 204 2.2. Похідні сталої, добутку сталої на функцію, степеневої, тригонометричних, показникової і логарифмічної функцій 205 2.3. Похідна складеної функції 207 2.4. Гіперболічні функції та їхні похідні . 209 2.5. Похідна оберненої функції. Диференціювання обернених тригонометричних функцій 211 2.6. Похідна функції, заданої параметрично 214 2.7. Диференціювання неявно заданої функції 215 2.8. Лггчпнфмічне диференціювання. Похідна показниково-степеневої функції , , 215 2.9. іаолиця похідних 216 Завдання для самоконтролю 217 § 3. Диференціал 218 3.1. Означення, геометричний та механічний зміст диференціала 218 3.2. Властивості диференціала. Інваріантність форми диференціала .... 220 3.3. Застосування диференціала в наближених обчисленнях 221 Завдання для самоконтролю 222 § 4. Похідні та диференціали вищих порядків 223 4.1. Похідні вищих порядків явно заданої функції 223 4.2. Похідні вищих порядків неявно заданої* функції 224 4.3. Похідні вищих порядків параметрично заданої функції 225 4.4. Диференціали вищих порядків 226 Завдання для самоконтролю 227 § 5. Деякі теореми диференціального числення 228 5.1. Теореми Ферма і Ролля 228 5.2. Теореми Коші і Лангранжа 230 5.3. Правило Лопіталя 233 5.4. Формула Тейлора 238 Завдання для самоконтролю 245 §6. Застосування диференціального числення для дослідження функцій 246 6.1. Монотонність функції 246 6.2. Локальний екстремум функції 248 6.3. Найбільше і найменше значення функції' 253 6.4. Опуклість і вгнутість кривих. Точки перегину 260 6.5. Асимптоти кривої 263 6.6. Схема дослідження функції та побудова її графіка 265 Завдання для самоконтролю 266 § 7. Застосування диференціального числення до деяких задач алгебри, геометрії, теорії наближень 268 7.1. Наближене розв'язування рівнянь 268 7.2. Інтерполяція функцій. Чисельне диференціювання 271 7.3. Диференціал довжини дуги 273 7.4. Кривина плоскої лінії 274 7.5. Вектор-функція скалярного аргументу. Дотична пряма і нормальна площина до кривої в просторі. Застосування у механіці 278 Завдання для самоконтролю 283 Глава 6. Диференціальне числення функцій багатьох змінних 284 § 1. Функція, її границя та неперервність 284 1.1. Функція багатьох змінних. Означення та символіка 284 1.2. Границя функції багатьох змінних 289 1.3. Неперервність функції багатьох змінних 291 Завдання для самоконтролю . . 293 § 2. Похідні та диференціали функції багатьох змінних 294 2.1. Частинні похідні 294 2.2. Диференційовність функції 297 2.3. Повний диференціал функції та його застосування до обчислення функцій і похибок. Диференціали вищих порядків 300 2.4. Похідна складеної функції. Повна похідна. Інваріантність форми повного диференціала 304 2.5. Диференціювання неявної функції 307 Завдання для самоконтролю 309 § 3. Деякі застосування частинних похідних 310 3.1. Дотична площина та нормаль до поверхні. Геометричний зміст диференціала функції двох змінних 310 3.2. Скалярне поле. Похідна за напрямом. Градієнт 313 3.3. Формула Тейлора для функції двох змінних 318 3.4. Локальні екстремуми функції двох змінних 320 3.5. Найбільше та найменше значення функції 324 3.6. Умовний екстремум , . , 327 Завдання для самоконтролю 329 Г л а в а 7. Інтегральне числення функцій однієї змінної . 330 § 1. Невизначений Інтеграл 321 1.1. Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла 331 1.2. Таблиця основних інтегралів 334 1.3. Основні методи інтегрування . 336 1.4. Поняття про комплексні числа 342 1.5. Деякі відомості про раціональні функції 347 1.6. Інтегрування раціональних функцій 352 1.7. Інтегрування деяких ірраціональних і трансцендентних функцій 355 1.8. Інтеграли, що "не беруться" 361 Завдання для самоконтролю 362 § 2. Визначений інтеграл 365 2.1. Задачі, що приводять до визначеного інтеграла 365 2.2. Означення та умови існування визначеного інтеграла 367 2.3. Властивості визначеного інтеграла 370 2.4. Інтеграл із змінною верхньою межею. Формула Ньютона - ЛейбнІца 376 2.5. Методи обчислення визначених Інтегралів , 380 2.6. Невласні інтеграли 385 2.7. Наближене обчислення визначених інтегралів 394 Завдання для самоконтролю 400 § 3. Деякі застосування визначеного інтеграла 401 3.1. Обчислення площ плоских фігур , , 401 3.2. Довжина дуги 405 3.3. Об'єм тіла 406 3.4. Площа поверхні обертання 408 3.5. Обчислення роботи . 409 3.6. Обчислення тиску рідини на вертикальну пластину 411 Завдання для самоконтролю 411 §4. Інтеграли, залежні від параметрів. Гамма-і бета-функції 412 4.1. Інтеграли, залежні від параметрів 412 4.2. Гамма- і бета-функції 417 Завдання для самоконтролю 420 Глава 8. Звичайні диференціальні рівняїні 421 §1. Диференціальні рівняння першого ш ряїку .421 1.1. Загальні поняття та означення. Задача Коші. Геометричний зміст диференціального рівняння 421 1.2. Диференціальні рівняння з відокремлюваними змінними 427 1.3. Однорідні диференціальні рівняння 430 1.4. Лінійні диференціальні рівняння 433 1.5. Рівняння, які зводяться до лінійних. Рівняння Бернуллі та Ріккаїі 435 1.6. Рівняння в повних диференціалах. Інтегруючий множник 435 1.7. Диференціальні рівняння, нерозв'язувані відносно похідної. Рівняння Дагранжа і Клеро 441 1.8. Наближене розв'язування диференціальних рівнянь методом Ейлера 445 1.9. Деякі застосування диференціальних рівнянь першого порядку . . . 446 Завдання для самоконтролю 450 § 2. Диференціальні рівняння вищих порядків 451 2.1. Основні поняття і означення. Задача Коші 451 2.2. Диференціальні рівняння л-го порядку, які Інтегруються в квадратурах 453 2.3. Диференціальні рівняння, які допускають пониження порядку . . . 455 Завдання для самоконтролю , 460 §3. Лінійні диференціальні рівняння вищих порядків 460 3.1. Основні означення і поняття 460 3.2. Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку . . . . . 461 ЗЛ Лінійні неоднорідні рівняння другого порядку 466 3.4. Метод варіації довільних сталих 467 Завдання для самоконтролю 469 § 4. Лінійні диференціальні рівняння із сталими коефіцієнтами 470 4.1. Лінійні однорідні рівняння другого порядку із сталими коефіцієнтами 470 4.2. Неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку із сталими коефіцієнтами. Рівняння із спеціальною правою частиною 473 4.3. Лінійні диференціальні рівняння "-го порядку 478 Завдання для самоконтролю 482 § 5. Диференціальні рівняння коливань 483 5.1. Вільні гармонічні коливання 483 5.2. Вимушені коливання. Резонанс 485 Завдання для самоконтролю 486 § 6. Системи диференціальних рівнянь . 487 6.1. Нормальні системи рівнянь 488 6.2. Системи лінійних диференціальних рівнянь із сталими коефіцієнтами 491 Завдання для самоконтролю , 493 Глава 9. Ряди 493 § 1. Числові ряди 494 1.1. Основні поняття та означення. Геометрична прогресія. Гармонічний ряд 494 1.2. Найпростіші властивості числових рядів 496 1.3. Знакододатні ряди. Достатні ознаки збіжності . . . . 498 1.4. Ряди, в яких знаки членів строго чергуються. Ознака Лейбніца 505 1.5. Знакозмінні ряди. Абсолютна і умовна збіжності 507 1.6. Поняття про числові ряди з комплексними членами 509 Завдання для самоконтролю 510 § 2. Степеневі ряди 512 2.1. Функціональні ряди. Поняття рівномірної збіжності. Ознака Вейер-штрасса 512 2.2. Поняття степеневого ряду. Теорема Абеля. Інтервал та радіус збіжності степеневого ряду 51 J? 2.3. Властивості степеневих рядів 51У 2.4. Ряд Тейлора 521 2.5. Розкладання елементарних функцій в ряд Маклорена 524 2.6. Наближені обчислення за допомогою степеневих рядів 527 2.7. Рівняння і функції Бесселя 531 2.8. Поняття про степеневі ряди в комплексній області. Формули Ейлера. . 534 Завдання для самоконтролю 536 § 3. Ряди Фур'е 538 3.1. Гармонічні коливання 538 3.2. Тригонометричний ряд Фур'е. Коефіцієнти Фур'е 540 3.3. Ряд Фур'е для парних і непарних функцій 545 3.4. Ряд Фур'е для 2/-періодичної функції 547 3.5. Ряди Фур'е для функцій, заданих на відрізку [0; І] або на відрізку [а; b] 549 3.6. Комплексна форма ряду Фур'е 551 3.7. Ряд Фур'є за ортогональною системою функцій 553 Завдання для самоконтролю 556 § 4. Інтеграл та перетворення Фур'е 557 4.1. Інтеграл Фур е 557 4.2. Інтеграл Фур'е для парних і непарних функцій . . 560 4.3. Інтеграл Фур'е в комплексній формі. Перетворення Фур'е 562 Завдання для самоконтролю . 564 Глава 10. Кратні, криволінійні та поверхневі інтеграли 564 § 1. Подвійний Інтеграл 564 1.1. Задачі, що приводять до поняття подвійного інтеграла 564 1.2. Поняття подвійного інтеграла. Умови його існування та властивості 566 1.3. Обчислення подвійного інтеграла 569 1.4. Заміна змінних у подвійному інтегралі. Подвійний інтеграл у полярних координатах 574 1.5. Застосування подвійних інтегралів до задач геометрії 577 1.6. Застосування подвійного інтеграла до задач механіки 581 Завдання для самоконтролю 583 § 2. Потрійний Інтеграл 585 2.1. Поняття потрійного інтеграла. Умови його існування та властивості 585 2.2. Обчислення потрійного інтеграла 587 2.3. Заміна змінної в потрійному інтегралі 589 2.4. Деякі застосування потрійного інтеграла o 592 Завдання для самоконтролю 594 § 3. Криволінійні інтеграли 595 3.1. Поняття криволінійного інтеграла першого роду (по довжині дуги) 595 3.2. Обчислення криволінійних інтегралів першого роду 598 3.3. Застосування криволінійного інтеграла першого роду 599 3.4. Поняття криволінійного інтеграла другого роду (по координатах). Фізичний зміст 600 3.5. Обчислення та застосування криволінійного інтеграла другого роду 603 3.6. Звязок між криволінійними інтегралами першого і другого роду 607 3.7. Формула Гріна 608 3.8. Умови незалежності криволінійного інтеграла від форми шляху інтегрування 610 3.9. Інтегрувага повних диференціалів. Первісна функція 614 Завдання для самоконтролю . 617 §4. Поверхневі інтеграли 618 4.1. Поверхневі інтеграли першого роду 618 4.2. Поверхневі інтеграли другого роду 621 4.3. Формула Остроградсьшго - Пуеса 626 4.4. Формула Стокса 628 Завдання для самоконтролю 631 Список рекомендованої і використаної літератури 632 Іменний покажчик 634 Предметний покажчик 636